Fisherjeva porazdelitev

F porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za F porazdelitev.
oznaka	$F(d_{1},d_{2})\!$
parametri	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ (prostostni stopnji)
interval	$x\in [0,+\infty )\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!$
pričakovana vrednost	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$ za $d_{2}>2$
mediana
modus	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}\!$ za $d_{1}>2$
varianca	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$ za $d_{2}>4$
simetrija	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!$ za $d_{2}>6$
sploščenost	glej lastnosti - levo
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)	ne obstoja, momenti so lahko določeni kjerkoli
karakteristična funkcija	določljiva kjerkoli

F porazdelitev (tudi Fisherjeva porazdelitev) je družina nesimetričnih zveznih verjetnostnih porazdelitev . Znana je tudi kot Snedekorjeva F porazdelitev ali Fisher-Snedekorjeva porazdelitev (imenuje se po angleškem statistiku, evolucijskem biologu in genetiku Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in ameriškem matematiku in statistiku Georgu Waddelu Snedekorju (1881 – 1974)).

Najbolj pogosto se uporablja v analizi variance (ugotavljanje, če imata dva vzorca isto varianco, glej tudi F test za hipoteze o enakosti varianc v dveh normalno porazdeljenih statističnih populacijah) in v regresijski analizi. Porazdelitev sama je porazdelitev razmerja dveh neodvisnih spremenljivk, ki imata porazdelitvi hi-kvadrat (podobno porazdelitvi varianc v normalno porazdeljenih vzorcih)

${\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}$

kjer sta

• $U_{1}\!$ in $U_{2}\!$ dve neodvisni spremenljivki, ki imata porazdelitev hi-kvadrat
• $d_{1}\!$ in $d_{2}\!$ pa pripadajoči prostostni stopnji porazdelitve (glej porazdelitev hi-kvadrat).

Lastnosti

Funkcija verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za F porazdelitev je

${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!$

kjer je

• $B(x,y)\!$ funkcija beta

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!$

kjer je

• $I_{x}(\alpha ,\beta )\!$ regulirana nepopolna funkcija beta

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $d_{2}>2$ enaka

${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!$.

Varianca

Varianca je za $d_{2}>4$ enaka

${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\!$.

Sploščenost

Sploščenost je enaka

${\frac {20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}+A}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)/12}}$

kjer je

• $A=5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16.$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• če je $X\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})\!$ potem ima slučajna spremenljivka $Y=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}X$ hi-kvadrat porazdelitev $\chi _{\nu _{1}}^{2}$
• Porazdelitev $\operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ je enaka Hotellingovi t kvadrat porazdelitvi $(\nu _{1}(\nu _{1}+\nu _{2}-1)/\nu _{2})\operatorname {T} ^{2}(\nu _{1},\nu _{1}+\nu _{2}-1)$.
• Če je $X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2}),$ potem velja tudi ${\frac {1}{X}}\sim F(\nu _{2},\nu _{1})$.
• Če ima spremenljivka $X\sim \mathrm {t} (\nu )\!$ Študentovo t porazdelitev potem velja $X^{2}\sim \operatorname {F} (\nu _{1}=1,\nu _{2}=\nu )$.
• Če je $X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ in$Y={\frac {\nu _{1}X/\nu _{2}}{1+\nu _{1}X/\nu _{2}}}$ potem velja za slučajno spremenljivko $Y\!$, da ima porazdelitev beta $Y\sim \operatorname {Beta} (\nu _{1}/2,\nu _{2}/2)$.
• Če je $\operatorname {Q} _{X}(p)$ kvantil $p$ za $X\sim \operatorname {F} (\nu _{1},\nu _{2})$ in je $\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$ kvantil $1-p$ for $Y\sim \operatorname {F} (\nu _{2},\nu _{1})$ potem je $\operatorname {Q} _{X}(p)=1/\operatorname {Q} _{Y}(1-p)$.

Zunanje povezave

• Prikaz simulacije F porazdelitve (angleško)
• Kalkulator za F porazdelitev Arhivirano 2010-01-26 na Wayback Machine. (angleško)
• Opis uporabe f porazdelitve (angleško)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev