Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov

Za druge izreke, poimenovane po Pierru de Fermatu, glej Fermatov izrek.

Fermatov izrèk o vsótah dvéh kvadrátov [fermájev ~] (ali tudi Fermat-Eulerjev izrek) je v aditivni teoriji števil izrek, ki pravi, da se lahko liho praštevilo izrazi kot vsota dveh kvadratov različnih celih števil $x\!\,$ in $y\!\,$:

$p=x^{2}+y^{2}\!\,,$

če in samo če velja:

$p\equiv 1{\pmod {4}}\!\,,$

oziroma, če pri deljenju s 4 praštevilo $p\!\,$ da ostanek 1. Praštevila za katera to velja, se imenujejo pitagorejska praštevila (OEIS A002144). Praštevila 5, 13, 17, 29, 37 in 41 so na primer vsa kongruentna z 1 modulo 4 in se jih lahko izrazi kot vsoto dveh kvadratov na naslednje načine:

$5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}\!\,.$

Po drugi strani pa so praštevila 3, 7, 11, 19, 23 in 31 vsa kongruentna s 3 modulo 4 in nobenega od njih ni mogoče izraziti kot vsoto dveh kvadratov. To je lažji del izreka in neposredno sledi iz ugotovitve, da so vsi kvadrati kongruentni z 0 (če je kvadrirano število sodo) ali z 1 (če je kvadrirano število liho) modulo 4.

Praštevilo 2 je edino sodo in se ga lahko izrazi kot vsoto dveh enakih celih števil:

$2=1^{2}+1^{2}\!\,.$

Ker Diofantova enakost implicira, da je produkt dveh celih števil, od katerih se lahko vsako zapiše kot vsoto dveh kvadratov, sam po sebi izrazljiv kot vsota dveh kvadratov, z uporabo Fermatovega izreka na prafaktorizacijo poljubnega pozitivnega celega števila $n\!\,$ se vidi, da če se vsi prafaktorji števila $n\!\,$, ki so kongruentni s 3 modulo 4, pojavijo na sodem eksponentu, potem je $n\!\,$ izrazljiv kot vsote dveh kvadratov. Velja tudi obratno. Ta posplošitev Fermatovega izreka je znana kot izrek o vsotah dveh kvadratov.

Zgodovina

Albert Girard (1595–1632) je bil prvi, ki je podal to opažanje, ko je označil pozitivna cela števila (ne nujno praštevila), ki jih je mogoče izraziti kot vsoto dveh kvadratov pozitivnih celih števil  – to je bilo objavljeno leta 1625. Trditev, da je vsako praštevilo $p\!\,$ oblike $4n+1\!\,$ vsota dveh kvadratov, se včasih imenuje Girardov izrek. Pierre de Fermat (1601–1665) je v pismu Marinu Mersennu z dne 25. decembra 1640 napisal podrobnejšo različico trditve (v kateri je navedel tudi število možnih izrazov potenc $p\!\,$ kot vsoto dveh kvadratov)  – zaradi tega se ta različica izreka včasih imenuje Fermatov božični izrek.

Gaussova praštevila

Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov je močno povezan s teorijo Gaussovih praštevil.

Gaussovo celo število je takšno kompleksno število $a+ib\!\,$, za katero sta $a\!\,$ in $b\!\,$ celi števili. Norma $N(a+ib)=a^{2}+b^{2}\!\,$ Gaussovega celega števila je celo število, ki je enako kvadratu absolutne vrednosti Gaussovega celega števila. Norma produkta Gaussovih celih števil je produkt njunih norm. To je Diofantova enakost, ki neposredno izhaja iz podobne lastnosti absolutne vrednosti.

Gaussova cela števila tvorijo domeno glavnih idealov. To pomeni, da se lahko Gaussova praštevila definira podobno kot praštevila, torej kot tista Gaussova cela števila, ki niso produkt dveh neenot (tukaj so enote $1,-,i\!\,$ in $-i\!\,$).

Multiplikativna lastnost norme pomeni, da je praštevilo $p\!\,$ bodisi Gaussovo praštevilo bodisi norma Gaussovega praštevila. Fermatov izrek trdi, da se prvi primer zgodi, ko je $p=4k+3\!\,$, in da se drugi primer zgodi, ko je $p=4k+1\!\,$ in $p=2\!\,$. Zadnji primer ni upoštevan v Fermatovi trditvi, vendar je trivialen, saj je $2=1^{2}+1^{2}=N(1+i)\!\,$.

Sorodni rezultati

Zgornji pogled na Fermatov izrek je poseben primer teorije faktorizacije idealov v kolobarjih kvadratnih celih števil. Skratka, če je ${\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}\!\,$ kolobar algebrskih celih števil v kvadratnem polju, potem je liho praštevilo $p\!\,$, ki ne deli $d\!\,$, bodisi praelement v ${\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}\!\,$, bodisi idealska norma ideala ${\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}\!\,$, ki je nujno praštevilo. Poleg tega zakon kvadratne recipročnosti omogoča razlikovanje obeh primerov v smislu kongruenc. Če je ${\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}\!\,$ domena glavnih idealov, potem je $p\!\,$ idealna norma, če in samo če velja:

$4p=a^{2}-db^{2}\!\,,$

kjer sta $a\!\,$ in $b\!\,$ celi števili.

V pismu Blaiseu Pascalu z dne 25. septembra 1654 je Fermat oznanil naslednja dva rezultata, ki sta v bistvu posebna primera $d=-2\!\,$ in $d=-3\!\,$. Če je $p\!\,$ liho praštevilo, potem velja:

$p=x^{2}+2y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ ali }}p\equiv 3{\pmod {8}}\!\,,$

$p=x^{2}+3y^{2}\iff p\equiv 1{\pmod {3}}\!\,.$

Fermat je zapisal tudi:

Če se pomnoži dve praštevili, ki se končata s 3 ali 7 in sta za 3 večji od mnogokratnika števila 4, bo njun produkt sestavljen iz kvadrata in petkratnika drugega kvadrata.

Z drugim besedami, če sta $p,q\!\,$ oblike $20k+3\!\,$ ali $20k+7\!\,$, velja $pq=x^{2}+5y^{2}\!\,$. Euler je razširil to v domnevo, da velja:

$p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ ali }}p\equiv 9{\pmod {20}}\!\,,$

$2p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 3{\mbox{ ali }}p\equiv 7{\pmod {20}}\!\,.$

Tako Fermatovo trditev kot Eulerjevo domnevo je postavil Joseph-Louis de Lagrange. Ta bolj zapletena formulacija temelji na dejstvu, da ${\mathcal {O}}_{\sqrt {-5}}\!\,$ ni domena glavnih idealov, za razliko od ${\mathcal {O}}_{\sqrt {-2}}\!\,$ in ${\mathcal {O}}_{\sqrt {-3}}\!\,$.

Glej tudi

• Legendrov izrek o treh kvadratih
• Lagrangeev izrek o štirih kvadratih
• Landau-Ramanudžanova konstanta
• Thuejeva lema
• izrek Friedlanderja in Iwanieca

Viri

• Dickson, Leonard Eugene (1920), History of the Theory of Numbers : Volume 2 : Diophantine Analysis, New York: Chelsea Publishing Co., str. 803, COBISS 27164677, ISBN 978-0-486-44233-4, na Internet Arhive

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801], Disquisitiones Arithemeticae, prevod: Clarke, Arthur A. (2. popravljena izd.), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9, izvirnik na Internet Archive

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801], Disquisitiones Arithemeticae, prevod: Clarke, Arthur A. (2. popravljena izd.), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9

• Hardy, Godfrey Harold; Wright, Edward Maitland (1938), An Introduction to the Theory of Numbers (1. izd.), Oxford: Clarendon Press, str. 403, COBISS 14437977, OCLC 879664

• Stevin, Simon (1625), l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges : Reueuë, corrigee & augmentee de plusieurs traictez et annotations / par Albert Girard ..., Leiden: De l'Imprimerie des Elzeviers, str. 893, OL 24166219M – prek Internet Archive, z opombami Alberta Girarda.

• D. A. Cox (1989). Primes of the Form x² + ny². Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.*Richard Dedekind, The theory of algebraic integers.

• Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics no. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.

• Goldman, Jay R. (1998), The Queen of Mathematics: A historically motivated guide to Number Theory, A K Peters, ISBN 1-56881-006-7
• D. R. Heath-Brown, Fermat's two squares theorem. Invariant, 11 (1984) pp. 3–5.
• John Stillwell, Introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-56518-9
• Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, DOI: 10.2307/2323918

Zunanje povezave

• Two more proofs at PlanetMath.org
• »A one-sentence proof of the theorem«. Arhivirano iz prvotnega dne 5. februarja 2012.{{navedi splet}}: Vzdrževanje CS1: neustrezen URL (povezava)
• Fermat's two squares theorem, D. R. Heath-Brown, 1984.
• Polster, Burkard (2019) "Fermat's Christmas theorem: Visualising the hidden circle in π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ..." (Video). Mathologer.