Eulerjeva vsota
Eulerjeva vsota (tudi Eulerjeva sumacijska metoda) je v matematiki konvergentnih in divergentnih vrst sumacijska metoda. Je metoda za dodelitev vrednosti vrstam, ki se razlikuje od konvencionalne metode računanja limit delnih vsot. Če je dana vrsta:
in, če njena Eulerjeva transformacija konvergira k vsoti, se ta vsota imenuje Eulerjeva vsota izvirne vrste. Eulerjeva vsota se lahko poleg določanja vrednosti za divergentne vrste rabi za pospeševanje konvergence vrst.
Eulerjeva vsota se lahko posploši v družino metod označenih kot (E, q), kjer je q ≥ 0. Vsota (E, 1) je običajna Eulerjeva vsota. Vse te metode so strogo šibkejše od Borelove vsote; za q > 0 so neprimerljive z Abelovo vsoto.
Definicija[uredi | uredi kodo]
Za poljubno vrednost y se lahko definira Eulerjeva vsota (če za to vrednost y konvergira), ki odgovarja posebni formalni vsoti kot:
Če formalna vsota dejansko konvergira, bo Eulerjeva vsota enaka. Eulerjeva vsota se še posebej rabi za pospeševanje konvergence alternirajočih vsrt in včasih lahko da uporabno smiselno vrednost divergentnih vsot.
V opravičilo temu pristopu je treba poudariti, da se za medsebojno zamenjano vsoto Eulerjeva vsota skrči na začetno vrsto, ker velja:
Metoda sama se iterativno ne more izboljšati, saj velja:
Zgodovina[uredi | uredi kodo]
Euler je vpeljal transformacijo vrst leta 1755 v svojem delu Osnove diferencialnega računa (Institutiones calculi differentialis).[1] Dano vrsto je zapisal kot alternirajočo vrsto . Z nekaj formalnimi algebrskimi koraki je pokazal, da velja transformacija:
kjer je:
Tako je naprej:
Členi na desni transformacije običajno postnejo veliko manjši in to hitreje, kar omogoča hitro numerično seštevanje. Naj je . Če se uvedeta spremenljivki x in y, ki sta povezani kot:
velja:
Če se izbereta in , sledi:
- Napaka pri razčlembi (SVG (MathML lahko omogočite z vtičnikom brskalnika): Neveljavni odziv (»Math extension cannot connect to Restbase.«) strežnika »http://localhost:6011/sl.wikipedia.org/v1/«:): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} b_{n} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots = \frac{a_{0}}{2} - \frac{\Delta^{1} a_{0}}{4} + \frac{\Delta^{2} a_{0}}{8} - \frac{\Delta^{3} a_{0}}{16} + \frac{\Delta^{4} a_{0}}{32} - \ldots \!\, , }
kot je zahtevano.[2]
Zgledi[uredi | uredi kodo]
- če se za formalno vsoto vzame y = 1, se dobi če je polinom stopnje k. Pri tem bo notranja vsota enaka nič za i > k, tako da bo v tem primeru Eulerjeva vsota skrčila neskončno vrsto v končno.
- na primer Grandijeva vrsta:
- Tu je in posebej , ter za vse , tako da Eulerjeva transformacija da »pričakovani« rezultat 1/2:
- ali vrsta:
- Zaporedja razlik so , , , . Eulerjeva transformacija da vrsto .
- za vrsto 1 − 2 + 3 − 4 + ···:
- je , in za vse , tako da je Eulerjeva vsota enaka .
- Euler je v Institutiones podal več zgledov. Na primer alternirajočo vrsto za trikotniška števila:
- ali za četrte potence (bikvadratna ali teseraktna števila):[3]
- posebna izbira zagotavlja eksplicitno reprezentacijo Bernoullijevih števil, ker je (Riemmanova funkcija ζ). Formalna vrsta v tem primeru dejansko divergira, ker je k pozitiven. Če se uporabi Eulerjeva vsota na funkcijo ζ (ali na sorodno Dirichletovo funkcijo η), bo veljalo , kar je analitična rešitev.
- . Z ustrezno izbiro y (da je enak ali blizu ) ta vrsta konvergira k .
Značilnosti[uredi | uredi kodo]
Eulerjeva vsota je linearna in regularna[4][5] in tako spada med generične sumacijske metode.
Glej tudi[uredi | uredi kodo]
- Borelova vsota
- Cesàrova vsota
- Lambertova vsota
- Perronova enačba
- abelovski in tauberski izreki
- Abel-Planova formula
- Abelova sumacijska formula
- van Wijngaardenova transformacija
Sklici[uredi | uredi kodo]
- ↑ Euler (1755).
- ↑ Kline (1983), str. 312.
- ↑ Kline (1983), str. 313.
- ↑ Vorobjov (1986), str. 306.
- ↑ »Euler summation method«, Encyclopedia of Mathematics (v angleščini), 17. avgust 2014, pridobljeno 5. januarja 2017
Viri[uredi | uredi kodo]
- Apostol, Tom Mike (1974), Mathematical Analysis Second Edition, Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-00288-4
- Euler, Leonhard (1755), Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum
- Kline, Morris (november 1983), »Euler and Infinite Series«, Mathematics Magazine, 56 (5): 307–314, doi:10.2307/2690371
{{citation}}
: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava) - Korevaar, Jacob (2004), Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, ISBN 3-540-21058-X
- Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6
- Varadarajan, Veeravalli Seshadri (Oktober 2007), »Euler and his work on infinite series«, Bull. AMS, 44 (4): 515–539, doi:10.1090/S0273-0979-07-01175-5, MR 2338363
- Vorobjov, Nikolaj Nikolajevič (1986), Теория рядов, Moskva