Euler-Maclaurinova formula

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Euler-Maclaurinova formula je v matematiki formula za razliko med integralom in tesno povezano vsoto. Lahko se uporabi za izračun približkov integralov s končnimi vsotami, ali obratno za ocenitev končnih vsot in neskončnih vrst s pomočjo integralov in orodij infinitezimalnega računa. Veliko asimptotičnih razširitev je na primer izpeljanih iz nje, Faulhaberjeva formula za vsoto potenc pa je njena neposredna posledica.

Formulo sta neodvisno odkrila Leonhard Euler in Colin Maclaurin okoli leta 1735. Euler jo je potreboval pri izračunavanju počasi konvergirajoče neskončne vrste, Maclaurin pa jo je uporabil pri računanju integralov. Kasneje je dobila posplošitev kot Darbouxjeva formula.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Če sta in naravni števili, pa kompleksna ali realna zvezna funkcija za realna števila na intervalu , se lahko integral:

zapiše kot približek z vsoto (ali obratno):

(glej metoda pravokotnikov). Euler-Maclaurinova formula zagotavlja izraze za razliko med vsoto in integralom z odvodi višjih redov , izračunanih v končnih točkah intervala, torej kadar je in .

Eksplicitno za pozitivno celo število in funkcijo , ki je -krat odvedljiva na intervalu , velja:

kjer je -to Bernoullijevo število (kjer velja ), pa je člen napake, ki je odvisen od , , in , ter je običajno majhen za ustrezne vrednosti .

Formula se pogosto zapiše le z indeksi s sodimi vrednostmi, saj so Bernoullijeva števila enaka 0 razen za . V tem primeru velja [1][2]

ali drugače:

Člen ostanka[uredi | uredi kodo]

Glej tudi: Bernoullijevi polinomi

Člen ostanka se pojavi, ker integral po navadi ni točno enak vsoti. Formula se lahko izpelje s ponavljajočo se integracijo po delih na zaporednih intervalih za . Mejni členi v teh integriranjih vodi do glavnih členov formule, preostali integrali pa tvorijo člen ostanka.

Člen ostanka ima točni izraz v obliki periodizirajočih Bernoullijevih funkcijah . Bernoullijevi polinomi se lahko definirajo rekurzivno z in za velja:

Periodizirajoče Bernoullijeve funkcije so določene kot:

kjer označuje največje celo število manjšeali enako (tako da vedno leži na intervalu ).

V takem zapisu je člen ostanka enak:

Ko je , se lahko pokaže, da velja:

kjer označuje Riemannovo funkcijo zeta. En pristop za dokaz te neenakosti je določitev Fourierove vrste za polinome . Meja se doseže za sode , ko je enak nič. Člen se lahko izpusti za lihe , vendar je dokaz v tem primeru bolj zapleten (glej Lehmer).[3] S pomočjo te neenakosti se lahko velikost člena ostanka oceni z:

Primeri z nizkimi redi[uredi | uredi kodo]

Bernoullijeva števila od do so . Primeri Euler-Maclaurinove formule za nizke rede so:

Uporabe[uredi | uredi kodo]

Baselski problem[uredi | uredi kodo]

Baselski problem povprašuje po točni vrednosti vsote neskončne vrste obratnih vrednosti kvadratov naravnih števil:

Euler je izračunal to vsoto na 20 decimalnih števk z le nekaj členi Euler-Maclaurinove formule leta 1735:

1,64493406684822643647 ...

Neposredno izračun za takšno točnost drugače zahteva izračun vrednosti ogromno členov. Za je na primer delna vsota točna le na 7 decimalnih mest:

0 1
1 1,    549767731166540762899330729851499199867249
2 1,6    34983900184892258167224099452141672372818
3 1,64    3934566681561459944305170211009681224823
4 1,6448    34071848065182308573639602400362491608
5 1,6449    24066898242331902224577788729220628738
6 1,64493    3066848770053525186085607856512069702
7 1,64493    3966847259565469130393466912209987640
8 1,6449340    57834575025225376521120779216289520
9 1,6449340    57834575025225376521120779216289520

Vrednost, ki jo je izračunal, ga je verjetno prepričala, da je vsota enaka , kar je tudi istega leta dokazal.[4] Njegov pristop je temeljil na metodah, ki tedaj niso bile upravičene, in je strogi dokaz podal leta 1741.

Vsote s polinomi[uredi | uredi kodo]

Glej tudi: Faulhaberjeva formula

Če je polinom in dovolj velik, potem člen ostanka postane enak 0. Za se lahko na primer izbere , kar po poenostavitvi da:

Približki integralov[uredi | uredi kodo]

Formula omogoča izraćun približka končnega integrala. Naj sta končni točki intervala integracije. Število točk za izračun približka naj je , pa odgovarjajoča velikost koraka. Naj bodo takšni, da velja in . Potem velja:[5]

Na to se lahko gleda kot razširitev trapezoidnega pravila z vključitvijo členov popravkov. Ta asimtotična razširitev običajno ne konvergira – obstaja nek takšen , odvisen od in , da členi za njim naraščajo zelo hitro. Zaradi tega je treba za člen ostanka v splošnem biti zelo previden.[5]

Euler-Maclaurinova formula se rabi tudi za podrobno analizo napak in numerično kvadraturo. Pojasni nadrejeno izvedbo trapezoidnega pravila na gladkih periodičnih funkcijah in se rabi v določenih ekstrapolacijskih metodah. Clenshaw-Curtisova kvadratura je dejansko sprememba spremenljivk za izražanje poljubnega integrala s pomočjo integralov periodičnih funkcij, kjer je pristop z Euler-Maclaurinovo formulo zelo točen (v tem psebnem primeru dobi Euler-Maclaurinova formula obliko diskretne kosinusne transformacije). Ta tehnika je znana kot periodizirajoča transformacija.

Asimptotična razširitev vsot[uredi | uredi kodo]

V kontekstu izračunavanja asimptotičnih razširitev vsot in vrst je običajno najbolj uporabna oblika Euler-Maclaurinove formule:

kjer sta in celi števili.[6] Velikokrat razširitev ostane pravilna tudi v primeru limit ali ali oboje. V mnogih primerih se lahko integral na desni strani v sklenjeni obliki s pomočjo elementarnih funkcij, čeprav se vsota na levi ne da. Potem se lahko vsi členi v asimtotični vrsti izrazijo s pomočjo elementarnih funkcij. Na primer:

Tu je leva stran enaka , namreč funkcija poligama prvega reda, določena kot funkcija gama je enaka , kadar je pozitivno celo število. To vodi do asimptotične razširitve za . Ta razširitev po vrsti služi kot začetna točka za eno od izpeljav točnih ocen napak Stirlingove aproksimacije funkcije fakulteta.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Če je celo število in , sledi:

Z zbirom konstant v vrednost Riemannove funkcije zeta se lahko zapiše asimptotična razširitev:

Za se to poenostavi v:

ali:

Kadar je , odgovarjajoča tehnika da asimtotično razširitev harmoničnih števil:

kjer je Euler-Mascheronijeva konstanta.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]