Engelov razvoj

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Engelov razvoj (angleško Engel expansion) pozitivnega realnega števila x je enolično nepadajoče zaporedje pozitivnih celih števil , da velja:

Racionalna števila imajo končni Engelov razvoj, iracionalna pa neskončnega. Če je x racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev x kot egipčanski ulomek. Engelovi razvoji se imenujejo po Friedrichu Engelu, ki jih je raziskoval leta 1913.[1]

Engelovi razvoji, verižni ulomki in Fibonacci[uredi | uredi kodo]

Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico verižnega ulomka:[2]

Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že Leonardo Fibonacci v delu Knjiga o abaku (Liber Abaci) leta 1202. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa ulomkov, kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:

Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.

Algoritem za računanje Engelovih razvojev[uredi | uredi kodo]

Za iskanje Engelovega razvoja x naj je:

in:

kjer je zgornji celi del (najmanjše celo število večje ali enako od r).

Če je za kakšen i, se algoritem ustavi.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:

Zaporedje se tu konča. Tako je:

in Engelov razvoj števila je .

Engelovi razvoji racionalnih števil[uredi | uredi kodo]

Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj ui racionalno število x/y, potem je ui+1 = (−y mod x)/y. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka ui poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:

se lahko končna števka n v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (n + 1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:

To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej 0,999...).

Engelovi razvoji nekaterih znanih števil[uredi | uredi kodo]

simbol Engelov razvoj OEIS ime
A006784 π

V splošnem:
A000027 e
A054544 Hinčinova konstanta
A028257 kvadratni koren iz 3
A059186 ζ(2)
A028259 število zlatega reza
A028254 kvadratni koren iz 2
A053980 ζ(3) (Apéryjeva konstanta)
  1
A054543 Catalanova konstanta
A053977 Euler-Mascheronijeva konstanta

V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi geometrično zaporedje.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]