Domneva Bunjakovskega

Domneva Bunjakovskega, ki jo je leta 1857 postavil ruski matematik Viktor Jakovljevič Bunjakovski, trdi, da nerazcepni polinom stopnje 2 ali več s celoštevilskimi koeficienti za naravne argumente tvori ali neskončno mnogo števil z največjim skupnim deliteljem (gcd), ki presega enoto, ali pa neskončno mnogo praštevil.

Zgled predhodnega primera je polinom $f(x)=x^{2}+x+4\,$, ki je nerazcepen, vendar tvori množico z gcd 2.

Domnevan zgled drugega primera je polinom $f(x)=x^{2}+1\,$, ki tvori praštevila prikazana v spodnji razpredelnici:

x	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54
x2 + 1	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	OEIS A002496

Šibkejša peta Hardy-Littlewoodova domneva, posebni primer domneve Bunjakovskega, trdi, da polinom $x^{2}+1\,$ tvori neskončno mnogo praštevil za celo število x > 1. Ta posebni primer je obravnaval tudi Euler. To je tudi Landauov četrti problem. Domneva Bunjakovskega ostaja nedokazana in zanjo tudi ni znanega protiprimera.

Domnevo Bunjakovskega se lahko obravnava kot razširitev Dirichletovega praštevilskega izreka, po katerem obstaja neskončno mnogo praštevil oblike nerazcepnega polinoma stopnje 1 – sicer ne zaporednih.

Viri

• Bunjakovski, Viktor Jakovljevič (1857), »Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs«, Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg, 6: 305–329
• Pegg, Ed, mlajši, »Domneva Bunjakovskega«, MathWorld (v angleščini)
• Rupert, Wolfgang M. (5. avgust 1998), Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p, arXiv:math/9808021