Domneva Bunjakovskega

Domneva Bunjakovskega v teoriji števil podaja kriterij za polinom $f(x)\!\,$ z eno spremenljivko s celoštevilskimi koeficienti, ki daje neskončno mnogo praštevil v zaporedju $f(1),f(2),f(3),\ldots \!\,$. Leta 1857 jo je postavil ruski matematik Viktor Jakovljevič Bunjakovski. Domneva trdi, da nerazcepni polinom stopnje 2 ali več s celoštevilskimi koeficienti za naravne argumente tvori ali neskončno mnogo števil z največjim skupnim deliteljem ($D\!\,$), ki presega enoto, ali pa neskončno mnogo praštevil. Za to, da ima polinom $f(x)\!\,$ želeno lastnost praštevila, so potrebni naslednji trije pogoji:

1. vodilni koeficient je pozitiven,
2. polinom je nerazcepen nad racionalnimi (in celimi) števili in
3. vrednosti $f(1),f(2),f(3),\ldots \!\,$ nimajo skupnega delitelja, večjega od 1. (Zlasti koeficienti $f(x)\!\,$ bi morali med seboj biti tuja števila.)

Domneva Bunjakovskega je, da so ti trije pogoji zadostni  – če polinom $f(x)\!\,$ izpolnjuje vse tri pogoje, potem je $f(n)\!\,$ praštevilo za neskončno mnogo pozitivnih celih števil $n\!\,$.

Na videz šibkejša, a enakovredna trditev domnevi Bunjakovskega je, da je za vsak celoštevilski polinom $f(x)\!\,$, ki izpolnjuje vse tri pogoje, je $f(n)\!\,$ praštevilo za vsaj eno pozitivno celo število $n\!\,$: toda ker translirani polinom $f(x+n)\!\,$ še vedno izpolnjuje vse tri pogoje, je glede na šibkejšo trditev $f(m)\!\,$ praštevilo za vsaj eno pozitivno celo število $m>n\!\,$, tako da je $f(n)\!\,$ dejansko praštevilo za neskončno mnogo pozitivnih celih števil $n\!\,$. Domneva Bunjakovskega je poseben primer Schinzlove domneve H, enega najbolj znanih nerešenih problemov v teoriji števil.

Pomen treh pogojev

Prvi pogoj je potreben, ker če je vodilni koeficient negativen, potem je $f(x)<0\!\,$ za vse velike $x\!\,$, in zato $f(n)\!\,$ ni (pozitivno) praštevilo za velika pozitivna cela števila $n\!\,$. (To zgolj zadošča dogovoru o predznakih, da so praštevila pozitivna.)

Drugi pogoj je potreben, ker če je $f(x)=g(x)h(x)\!\,$ kjer imata polinoma $g(x)\!\,$ in $h(x)\!\,$ celoštevilske koeficiente, potem velja $f(n)=g(n)h(n)\!\,$ za vsa cela števila $n\!\,$; vendar $g(x)\!\,$ in $h(x)\!\,$ zavzameta vrednosti 0 in $\pm 1\!\,$ le končno mnogokrat, zato je $f(n)\!\,$ sestavljen za vse velike $n\!\,$.

Drugi pogoj prav tako ne velja za polinome, ki so razcepni nad racionalnimi števili.

Celoštevilski polinom $P(x)=(1/12)\,x^{4}+(11/12)\,x^{2}+2\!\,$ na primer ne izpolnjuje drugega pogoja, ker je $P(x)=(1/12)\,(x^{4}+11x^{2}+24)=(1/12)\,(x^{2}+3)\,(x^{2}+8)\!\,$, zato mora biti vsaj eden od zadnjih dveh faktorjev delitelj števila $12\!\,$, da je polinom $P(x)\!\,$ praštevilo, kar pa velja le, če je $|x|\leq 3\!\,$. Ustrezne vrednosti so $2,3,7,17\!\,$, zato so to edina taka praštevila za celoštevilski $x\!\,$. To ni protiprimer domnevi Bunjakovskega, saj drugi pogoj ni izpolnjen.

Tretji pogoj, da imajo števila $f(n)\!\,$ $D=1\!\,$, je očitno potreben, vendar je nekoliko subtilen in ga je najbolje razumeti s protiprimerom. naj je polinom $f(x)=x^{2}+x+2\!\,$, ki ima pozitiven vodilni koeficient in je nerazcepen, koeficienti pa so med seboj tuja števila, vendar je $f(n)\!\,$ sod za vsa cela števila $n\!\,$ in je zato praštevilo le končno mnogokrat (namreč pri $n=0,-1\!\,$, ko je $f(n)=2\!\,$).

V praksi je najlažji način za preverjanje tretjega pogoja najti en takšen par pozitivnih celih števil $m\!\,$ in $n\!\,$, da sta $f(m)\!\,$ in $f(n)\!\,$ med seboj tuji števili. Na splošno se lahko za poljubni celoštevilski polinom $f(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{d}x^{d}\!\,$ uporabi $D\{f(n)\}_{n\geq 1}=D(f(m),f(m+1),\dots ,f(m+d))\!\,$ za poljubno celo število $m\!\,$ in je zato $D\!\,$ podan z vrednostmi $f(x)\!\,$ pri poljubnih zaporednih celih številih $d+1\!\,$. V zgornjem primeru je $f(-1)=2,f(0)=2,f(1)=4\!\,$ in zato je $D=2\!\,$, kar pomeni, da ima polinom $x^{2}+x+2\!\,$ sode vrednosti na celih številih.

Druga možnost je, kadar je celoštevilski polinom $f(x)\!\,$ zapisan v osnovi binomskih koeficientnih polinomov:

$f(x)=a_{0}+a_{1}{\binom {x}{1}}+\cdots +a_{d}{\binom {x}{d}}\!\,,$

je vsak koeficient $a_{i}\!\,$ celo število in $D\{f(n)\}_{n\geq 1}=D(a_{0},a_{1},\dots ,a_{d})\!\,$. V zgornjem primeru je to:

$x^{2}+x+2=2{\binom {x}{2}}+2{\binom {x}{1}}+2\!\,,$

in za koeficiente na desni strani enačbe velja $D=2\!\,$.

Z uporabo te formule za $D\!\,$ se lahko dokaže, da je $D\{f(n)\}_{n\geq 1}=1\!\,$ če in samo če obstajajo takšna pozitivni celi števili $m\!\,$ in $n\!\,$, da sta $f(m)\!\,$ in $f(n)\!\,$ med seboj tuji števili.

Zgledi

Enostavni kvadratni polinom

Zgled predhodnega primera je polinom $f(x)=x^{2}+x+4\!\,$, ki je nerazcepen, vendar tvori množico z $D=2\!\,$.

Domnevan zgled drugega primera je polinom $f(x)=x^{2}+1\!\,$, ki tvori praštevila prikazana v spodnji razpredelnici:

$x\!\,$	1	2	4	6	10	14	16	20	24	26	36	40	54	56	66	74	84	90	94	110	116	120	OEIS A005574
$x^{2}+1\!\,$	2	5	17	37	101	197	257	401	577	677	1297	1601	2917	3137	4357	5477	7057	8101	8837	12101	13457	14401	OEIS A002496

Šibkejša peta Hardy-Littlewoodova domneva, posebni primer domneve Bunjakovskega, trdi, da kvadratni polinom $n^{2}+1\!\,$ tvori neskončno mnogo praštevil za celo število $n>1\!\,$. Ta posebni primer je obravnaval tudi Euler. To je tudi Landauov četrti problem. Domneva Bunjakovskega ostaja nedokazana in zanjo tudi ni znanega protiprimera. Kljub obsežnim numeričnim dokazom ni znano, ali je to zaporedje neskončno.

Ciklotomski polinomi

Ciklotomski polinomi $\Phi _{k}(x)\!\,$ za $k=1,2,3,\ldots \!\,$ izpolnjujejo vse tri pogoje domneve Bunjakovskega, zato bi moralo za vse $k\!\,$ obstajati neskončno mnogo naravnih števil $n\!\,$, za katera je $\Phi _{k}(n)\!\,$. Lahko se pokaže, da če za vse $k\!\,$ obstaja celo število $n>1\!\,$, za katero je $\Phi _{k}(n)\!\,$ praštevilo, potem za vse $k\!\,$ obstaja neskončno mnogo naravnih števil $n\!\,$, za katera je $\Phi _{k}(n)\!\,$ praštevilo.

Naslednje zaporedje poda najmanjše naravno število $n>1\!\,$, za katero je $\Phi _{k}(n)\!\,$ praštevilo, za $k=1,2,3,\ldots \!\,$:

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (OEIS A085398).

Znano je, da to zaporedje vsebuje nekaj dolgih členov: 545. člen je 2706, 601. je 2061 in 943. je 2042. Ta zgled domneve Bunjakovskega je splošno sprejet, vendar spet ni znano, ali je zaporedje neskončno.

Običajno obstaja celo število $n\!\,$ med 2 in $\phi (k)\!\,$ (kjer je $\phi \!\,$ Eulerjeva funkcija fi, zato je $\phi (k)\!\,$ stopnja od $\Phi _{k(n)}\!\,$), tako da je $\Phi _{k(n)}\!\,$ praštevilo, vendar obstajajo izjeme; prvih nekaj je:

1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ....

Delni rezultati: samo Dirichletov izrek

Domnevo Bunjakovskega se lahko obravnava kot razširitev Dirichletovega praštevilskega izreka, po katerem obstaja neskončno mnogo praštevil oblike nerazcepnega polinoma stopnje 1  – sicer ne zaporednih. To je do sedaj edini dokazan primer domneve Bunjakovskega. Dirichletov izrek pravi, da kadar sta $a\!\,$ $m\!\,$ med seboj tuji števili, obstaja neskončno mnogo praštevil $p\equiv a{\pmod {m}}\!\,$. To je domneva Bunjakovskega za $f(x)=a+mx\!\,$ (ali $a-mx\!\,$, če je $m<0\!\,$). Tretji pogoj v domnevi Bunjakovskega za linearni polinom $mx+a\!\,$ je enakovreden temu, da sta $a\!\,$ $m\!\,$ med seboj tuji števili.

Noben primer domneve Bunjakovskega za stopnjo večjo od 1 ni dokazan, čeprav so numerični dokazi za višje stopnje skladni z domnevo.

Posplošena domneva Bunjakovskega

Glede na $k\geq 1\!\,$ polinomov s pozitivnimi stopnjami in celoštevilskimi koeficienti, ki vsak izpolnjuje vse tri pogoje, se predpostavi, da za vsako praštevilo $p\!\,$ obstaja takšen $n\!\,$, da nobena od vrednosti $k\!\,$ polinomov pri $n\!\,$ ni deljiva s $p\!\,$. Glede na te predpostavke se domneva, da obstaja neskončno mnogo takšnih pozitivnih celih števil $n\!\,$, da so vrednosti teh $k\!\,$ polinomov pri $x=n\!\,$ praštevila. Ta domneva je enakovredna posplošeni Dicksonovi domnevi in Schinzlovi domnevi H.

Glej tudi

• celoštevilski polinom
• Cohnov kriterij nerazcepnosti
• Schinzlova domneva H
• Bateman-Hornova domneva
• Hardy-Littlewoodova domneva F

Viri

• Bunjakovski, Viktor Jakovljevič (1857), »Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières«, Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de Saint Pétersbourg, 6: 305–329
• Hensel, Kurt (1896), »Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind«, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1896 (116): 350–356, doi:10.1515/crll.1896.116.350, eISSN 1435-5345, ISSN 0075-4102, S2CID 118266353
• Pegg, Ed, mlajši. »Bouniakowsky Conjecture«. MathWorld (v angleščini).{{navedi splet}}: Vzdrževanje CS1: več imen: seznam avtorjev (povezava)
• Rupert, Wolfgang M. (julij 1999), »Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p«, Journal of Number Theory, 77 (1): 62–70, arXiv:math/9808021, doi:10.1006/jnth.1999.2381, ISSN 0022-314X
• Wolf, Marek (2013), »Some Conjectures On Primes Of The Form m2 + 1« (PDF), Journal of Combinatorics and Number Theory, 5: 103–132, ISSN 1942-5600