Catalanova konstanta
Catalanova konstánta [katalánova ~] (oznaki G ali ) je v matematiki konstanta, ki se včasih pojavi pri ocenah v kombinatoriki. Določena je kot vsota alternirajoče vrste:
kjer je β Dirichletova funkcija β. Njena številska desetiška vrednost je približno (OEIS A006752):
Ni znano ali je G racionalno ali iracionalno število. Imenuje se po Eugèneu Charlesu Catalanu.
Integralski izrazi[uredi | uredi kodo]
Konstanto lahko zapišemo z določenimi integrali:
in na primer z:
kjer je K(x) popolni eliptični integral 1. vrste, ter z:
Uporaba[uredi | uredi kodo]
G se pojavlja v kombinatoriki, v vrednostih druge funkcije poligama, imenovane tudi funkcija trigama, pri argumentih z ulomki:
Simon Plouffe je podal neskončno zbirko izrazov med funkcijo trigama, in Catalanovo konstanto. Lahko se jih izrazi kot poti v grafu.
Konstanta se pojavlja tudi v povezavi s hiperbolično sekantno porazdelitvijo.
Hitro konvergentne vrste[uredi | uredi kodo]
Naslednji formuli predstavljata hitro konvergentni vrsti, in sta primerni za računanje vrednosti konstante:
in:
Teoretične osnove za takšne vrste je dal Broadhurst.[2]
Znane števke[uredi | uredi kodo]
Število znanih števk Catalanove konstante G se je v zadnjih desetletjih zelo povečalo. Vzrok temu je povečanje zmogljivosti računalnikov kot tudi izboljšave algoritmov.[3]
datum | desetiške števke | avtor |
---|---|---|
1832 | 16 | Thomas Clausen |
1858 | 19 | Carl Johan Danielsson Hill |
1864 | 14 | Eugène Charles Catalan |
1877 | 20 | James W. L. Glaisher |
1913 | 32 | James W. L. Glaisher |
1990 | 20.000 | Greg J. Fee |
1996 | 50.000 | Greg J. Fee |
14. avgust 1996 | 100.000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
29. september 1996 | 300.000 | Thomas Papanikolaou |
1996 | 1.500.000 | Thomas Papanikolaou |
1997 | 3.379.957 | Patrick Demichel |
4. januar 1998 | 12.500.000 | Xavier Gourdon |
2001 | 100.000.500 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
2002 | 201.000.000 | Xavier Gourdon & Pascal Sebah |
oktober 2006 | 5.000.000.000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[4] |
avgust 2008 | 10.000.000.000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[5] |
31. januar 2009 | 15.510.000.000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[6] |
16. april 2009 | 31.026.000.000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[6] |
6. april 2013 | 100.000.000.000 | Robert J. Setti[7] |
Glej tudi[uredi | uredi kodo]
Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]
- ↑ Srivasata; Glaser; Adamchik (2000).
- ↑ Broadhurst (1998).
- ↑ Gourdon, Sebah.
- ↑ "Spletna stran Shigeruja Konda". Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2008-02-11. Pridobljeno dne 2009-11-09.
- ↑ Constants and Records of Computation
- ↑ 6,0 6,1 Large Computations
- ↑ "100 Billion Digits Catalan's Constant Complete" (angleščina). Pridobljeno dne 2014-05-23.
Viri[uredi | uredi kodo]
- Adamchik, Victor S. "representations for Catalan's constantlanguage=en". Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2009-06-24. Pridobljeno dne 2009-11-09.
- Adamchik, Victor S. (2002). "A certain series associated with Catalan's constant". Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA). Vol. 21. str. 1–10. Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2010-03-16. Pridobljeno dne 2009-11-09.
- Broadhurst, D. J. (1998). "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)". .
- Fee, Greg (1996). "Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)" (angleščina). (Navedeno je prvih 300.000 števk Catalanove konstante.)
- Gourdon, X.; Sebah, P. "Constants and Records of Computation" (angleščina).
- Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan" (angleščina). Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2009-04-20. Pridobljeno dne 2009-11-09. (Navedeno je več kot sto različnih izrazov.)
- Plouffe, Simon (1999). "A few identities with Catalan constant and Pi^2" (angleščina). Arhivirano iz prvotnega spletišča dne 2009-04-21. Pridobljeno dne 2009-11-09. (Prikazane so grafične predstavitve izrazov.)
- Srivasata, H. M.; Glaser, M. L.; Adamchik, Victor S. (2000). "Some Definite Integrals Associated with the Riemann Zeta Function". Paper 90. Univerza Carnegie Mellon, Fakulteta za računalništvo, Oddelek za računalništvo.
- Weisstein, Eric W. "Catalan's Constant". MathWorld.
- Catalan constant: Generalized power series na Wolfram Functions Site