Catalanova konstanta

Catalanova konstánta [katalánova ~] (oznaki G ali $C_{a}$$C_{a}$) je v matematiki konstanta, ki se včasih pojavi pri ocenah v kombinatoriki. Določena je kot vsota alternirajoče vrste:

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!\,,$$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!\,,$

kjer je β Dirichletova funkcija β. Njena številska desetiška vrednost je približno (OEIS A006752):

$G=0,915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774\ldots$$G=0,915\,965\,594\,177\,219\,015\,054\,603\,514\,932\,384\,110\,774\ldots$

Ni znano ali je G racionalno ali iracionalno število. Imenuje se po Eugèneu Charlesu Catalanu.

Integralski izrazi

Konstanto lahko zapišemo z določenimi integrali:

$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,,$$G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\!\,,$

$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\!\,,$$G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\!\,,$

$G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,\mathrm {d} t\!\,,$$G=\int _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin t\cos t}}\,\mathrm {d} t\!\,,$

$G=\int _{0}^{\pi /2}\log \left[2\sin {\frac {t}{2}}\right]\,\mathrm {d} t\!\,,$$G=\int _{0}^{\pi /2}\log \left[2\sin {\frac {t}{2}}\right]\,\mathrm {d} t\!\,,$

in na primer z:

$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,\mathrm {d} x\!\,,$$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,\mathrm {d} x\!\,,$

kjer je K(x) popolni eliptični integral 1. vrste, ter z:

$G=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}\,\mathrm {d} x\!\,.$$G=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctg} x}{x}}\,\mathrm {d} x\!\,.$

Uporaba

G se pojavlja v kombinatoriki, v vrednostih druge funkcije poligama, imenovane tudi funkcija trigama, pri argumentih z ulomki:

$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\!\,,$$\psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\!\,,$

$\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\!\,.$$\psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\!\,.$

Simon Plouffe je podal neskončno zbirko izrazov med funkcijo trigama, $\pi ^{2}$$\pi ^{2}$ in Catalanovo konstanto. Lahko se jih izrazi kot poti v grafu.

Konstanta se pojavlja tudi v povezavi s hiperbolično sekantno porazdelitvijo.

Hitro konvergentne vrste

Naslednji formuli predstavljata hitro konvergentni vrsti, in sta primerni za računanje vrednosti konstante:

$G=\,$$G=\,$

$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-$

$2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$$2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)$

in:

$G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}\!\,.$$G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}\!\,.$

Teoretične osnove za takšne vrste je dal Broadhurst.

Znane števke

Število znanih števk Catalanove konstante G se je v zadnjih desetletjih zelo povečalo. Vzrok temu je povečanje zmogljivosti računalnikov kot tudi izboljšave algoritmov.

Število znanih desetiških števk Catalanove konstante G

datum	desetiške števke	avtor
1832	16	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalan
1877	20	James W. L. Glaisher
1913	32	James W. L. Glaisher
1990	20.000	Greg J. Fee
1996	50.000	Greg J. Fee
14. avgust 1996	100.000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
29. september 1996	300.000	Thomas Papanikolaou
1996	1.500.000	Thomas Papanikolaou
1997	3.379.957	Patrick Demichel
4. januar 1998	12.500.000	Xavier Gourdon
2001	100.000.500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201.000.000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
oktober 2006	5.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
avgust 2008	10.000.000.000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo
31. januar 2009	15.510.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
16. april 2009	31.026.000.000	Alexander J. Yee & Raymond Chan
6. april 2013	100.000.000.000	Robert J. Setti

Glej tudi

• konstanta zeta

Viri

• Adamchik, Victor S. "representations for Catalan's constantlanguage=en". 
• Adamchik, Victor S. (2002). "A certain series associated with Catalan's constant". Zeitschrift fuer Analysis und ihre Anwendungen (ZAA) 21: 1–10. 
• Broadhurst, D. J. (1998). "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)". . 
• Fee, Greg (1996). "Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)" (angleščina).  (Navedeno je prvih 300.000 števk Catalanove konstante.)
• Gourdon, X.; Sebah, P. "Constants and Records of Computation" (angleščina). 
• Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan" (angleščina).  (Navedeno je več kot sto različnih izrazov.)
• Plouffe, Simon (1999). "A few identities with Catalan constant and Pi^2" (angleščina).  (Prikazane so grafične predstavitve izrazov.)
• Srivasata, H. M.; Glaser, M. L.; Adamchik, Victor S. (2000). "Some Definite Integrals Associated with the Riemann Zeta Function". Paper 90 (Univerza Carnegie Mellon, Fakulteta za računalništvo, Oddelek za računalništvo). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. "Catalan's Constant" (angleščina). MathWorld. 
• Catalan constant: Generalized power series na Wolfram Functions Site