Cartanova matrika

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilčne elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869 – 1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847 – 1923).

Definicija

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika $A=(a_{ij})\,$$A=(a_{ij})\,$ z elementi, ki so cela števila tako, da je

• diagonalni elementi so enaki $a_{ii}=2\,$$a_{ii}=2\,$
• nediagonalni elementi pa imajo vrednosti $a_{ij}\leq 0\,$$a_{ij}\leq 0\,$
• elementi $a_{ij}=0\,$$a_{ij}=0\,$ samo, če in samo če je $a_{ji}=0\,$$a_{ji}=0\,$
• matriko $A\,$$A\,$ lahko razčlenimo kot $DS\,$$DS\,$, kjer je $D\,$$D\,$ diagonalna matrika in $S\,$$S\,$ simetrična matrika.

Značilnosti

Vedno lahko izberemo matriko $D\,$$D\,$ tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru pravimo, da je matrika $A\,$$A\,$ Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika $S\,$$S\,$ pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti

$a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}$$a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}$

kjer je

• $r_{i}\,$$r_{i}\,$ enostavni koren algebre

Zunanje povezave

• Cartanova matrika na MathWorld (v angleščini)
• Cartanova matrika na PlanetMath (v angleščini)
• Razširjena Cartanova matrika (v angleščini)
• Cartanova matrika (v angleščini)