Cartanova matrika

Cartanova matrika je v matematiki kvadratna matrika, ki ima celoštevilske elemente (glej definicijo).

Imenuje se po francoskem matematiku Élieju Josephu Cartanu (1869–1951). Cartanove matrike je v okviru Liejevih algeber prvi proučeval nemški matematik Wilhelm Karl Joseph Killing (1847–1923).

Definicija

Posplošena Cartanova matrika je kvadratna matrika $A=(a_{ij})\!\,$ z elementi, ki so cela števila tako, da je:

• diagonalni elementi so enaki $a_{ii}=2\!\,$
• nediagonalni elementi imajo vrednosti $a_{ij}\leq 0\!\,$
• elementi $a_{ij}=0\!\,$ samo, če in samo če je $a_{ji}=0\!\,$
• matriko $A\!\,$ se lahko razčleni kot $DS\!\,$, kjer je $D\!\,$ diagonalna matrika in $S\!\,$ simetrična matrika.

Značilnosti

Vedno se lahko izbere matriko $D\!\,$ tako, da imajo diagonalni elementi pozitivne vrednosti. V tem primeru se matrikab$A\!\,$ imenuje Cartanova matrika, če je v zgornji razčlembi matrika $S\!\,$ pozitivno definitna.

Cartanova matrika v enostavni Liejevi algebri je matrika katere elementi so skalarni produkti:

$a_{ij}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}\!\,,$

kjer je:

• $r_{i}\!\,$ enostavni koren algebre

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cartan Matrix«. MathWorld (v angleščini).
• Cartanova matrika Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
• Razširjena Cartanova matrika (angleško)
• Cartanova matrika (angleško)