Boltzmannova konstanta

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Boltzmannova konstánta [bólcmanova ~] (označba k_{\rm B}\!\, ali k\!\,) je ena osnovnih fizikalnih konstant, ki povezuje temperaturo z energijo. Imenovana je po avstrijskem fiziku Ludwigu Boltzmannu, ki je konec 19. stoletja postavil temelje statistične mehanike, kjer igra ta konstanta pomembno vlogo. Njena eksperimentalno določena vrednost, izražena v enotah mednarodnega sistema enot, je

kB = 1,380.650.4(24)  · 10−23 J K-1

Številke v oklepaju pomenijo statistično odstopanje (standardno deviacijo) na zadnjih dveh izmerjenih mestih.

Most med fiziko makroskopskega in mikroskopskega sveta[uredi | uredi kodo]

Boltzmannova konstanta k_{\rm B} predstavlja most med fiziko makroskopskega in mikroskopskega sveta. Po splošni plinski enačbi za idealni plin je produktu tlaka p in prostornine V sorazmeren s produktom množine snovi n (izražene v molih) in absolutne temperature T:

 pV = n R T \!\, ,

kjer je R splošna plinska konstanta. R je pripravnejša količina, kadar računamo v molih, in je enaka kar Boltzmannovi konstanti, pomnoženi z Avogadrovim številom:

 R = k_{\rm B} N_{A} \!\, .

Splošna plinska enačba, zapisana z Boltzmannovo konstanto, predstavlja enačbo o mikroskopskih lastnostih molekul:

 pV = N k_{\rm B} T \!\, ,

kjer je N število molekul plina.

Pomen pri enakomerni razdelitvi energije[uredi | uredi kodo]

V termodinamskem sistemu pri absolutni temperaturi T definira Boltzmannova konstanta energijo E = kB T, ki podaja velikostni red termične energije posameznega mikroskopskega delca v sistemu. Delci imajo prostostne stopnje, ki je po ekviparticijskem izreku reda k_{\rm B} T/2. Posamičen atom klasičnega idealnega plina ima denimo povprečno kinetično energijo 1,5 kB T. Pri temperaturi 300 K, kar približno ustreza sobni temperaturi, je vrednost kB T enaka 4,14 · 10-21 J oziroma 25,9 meV.

Uporaba v preprosti termodinamiki plinov[uredi | uredi kodo]

V klasični statistični mehaniki to velja za homogene idealne pline. Enoatomni plini imajo tri prostostne stopnje na atom, kar odgovarja trem smerem v prostoru, oziroma termični energiji 1,5 kB T. Kakor je prikazano v članku o specifični toploti, to dovolj dobro odgovarja izmerjenim vrednostim. S termično energijo lahko izračunamo srednjo kvadratično sredino hitrosti atomov, ki je obratno sorazmerna s kvadratnim korenom relativne atomske mase. Kvadratične hitrosti pri sobni temperaturi so v razponu od 1370 m/s za helij do 240 m/s za ksenon.

V kinetični teoriji plinov je povprečni tlak p idealnega plina enak:

 p = \frac{1}{3} \frac{N}{V} m {\overline{v^{2}}} \!\, .

Če je povprečna kinetična energija pri translaciji:

 \frac{1}{2} m \overline{v^{2}} = \frac{3}{2} k_{\rm B} T \!\, ,

je tlak:

 p = \frac{N}{V} k_{\rm B} T \!\, ,

kar je spet splošna plinska enačba. Splošna plinska enačba velja enako dobro tudi za molekularne pline, vendar je enačba za specifično toploto bolj zapletena, ker imajo molekule poleg treh prostostnih stopenj še nove notranje prostostne stopnje. Dvoatomni plini imajo v celoti približno pet prostostnih stopenj.

Pomen pri Boltzmannovih faktorjih[uredi | uredi kodo]

V splošnem lahko sistemi v ravnovesju z notranjo energijo pri temperaturi T zavzamejo stanja z energijo E, ki odgovarja pripadajočemu Boltzmannovemu faktorju:

 p \propto e^{-\beta E} = e^{-E / (k_{\rm B}T)} \!\, ,

kjer je \beta = 1/(k_{\rm B}T) inverzna temperatura.

Spet je pomembna količina k_{\rm B}T. Ena od posledic tega dejstva je poleg omenjenih posledic za idealne pline na primer tudi Arrheniusova enačba preproste kemijske kinetike.

Pomen pri definiciji entropije[uredi | uredi kodo]

V statistični mehaniki je entropija S toplotno izoliranega sistema v termodinamičnem ravnovesju določena z naravnim logaritmom Ω, pri čemer je Ω število mikroskopskih stanj, ki ustrezajo makroskopskemu stanju sistema, določenem z makroskopskimi omejitvami (npr. skupno energijo W):

 S = k_{\rm B} \, \ln \Omega \!\, .

Sorazmernostni faktor je Boltzmannova konstanta kB. Ta enačba, ki povezuje mikroskopsko (Ω) z makroskopskim stanjem snovi (določeno z entropijo S), predstavlja osrednjo zamisel statistične mehanike.

Entropija statistične mehanike mora biti enaka klasični Clausiusovi termodinamični entropiji:

 \Delta S = \int \frac{\mathrm{d}Q}{T} \!\, .

Entropijo lahko zapišemo tudi z mikroskopskimi izrazi kot:

{S^{\,'} = \ln \Omega} \; ; \; \; \; \Delta S^{\,'} = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k_{\rm B}T} \!\, .

To je naravnejša oblika in takšna entropija natančno odgovarja Shannonovi informacijski entropiji.

Pomen v fiziki polprevodnikov: termična napetost[uredi | uredi kodo]

V fiziki polprevodnikov sta električni tok in elektrostatični potencial skozi prehod p-n odvisna od značilne napetosti, ki se imenuje termična napetost UT. Termična napetost je odvisna od absolutne temperature po enačbi:

 U_{T}  =  \frac{k_{\rm B} T}{q} \!\, ,

kjer je q vrednost električnega naboja elektrona (glej osnovni naboj) z vrednostjo 1,602 176 487  · 10−19 C. Če uporabimo enoto elektronvolt, lahko Boltzmannovo konstanto izrazimo kot 8,617 343(15) · 10−5 eV/K, s katero lahko preprosto izračunamo, da je pri sobni temperaturi (T ≈ 300 K), vrednost termične napetosti približno enaka 25,85 millivoltov ≈ 26 mV.

Boltzmannova konstanta v Planckovih enotah[uredi | uredi kodo]

V Planckovem sistemu naravnih enot je Boltzmannova konstanta brezrazsežna količina enaka 1. Povprečna kinetična energija plinske molekule na prostostno stopnjo je tako enaka:

{ E = \frac{1}{2} T } \!\, .

Tudi definicija termodinamične entropije na ta način sovpada z definicijo informacijske entropije:

 S = - \sum p_{i} \ln p_{i} \!\, .

Izbrana vrednost za enoto Planckove temperature odgovarja energiji Planckove mase - 1,41679 · 1032 K.

Iz zgodovine[uredi | uredi kodo]

Čeprav je Boltzmann povezal entropijo in verjetnost leta 1877, enačbe verjetno niso izrazili z določeno konstanto vse dokler Boltzmannove konstante ni uvedel Planck decembra 1900 prek zakona o sevanju črnega telesa in tudi podal njeno natančno vrednost. Planck je leta 1918 na predavanju ob podelitvi Nobelove nagrade za fiziko zapisal: »Ta konstanta se običajno imenuje Boltzmannova, čeprav je, kolikor je meni znano, Boltzmann ni nikoli uvedel. Čuden splet okoliščin, ki ga lahko pojasnimo z dejstvom, da Boltzmann, kot je razvidno iz njegovih občasnih govorov, nikoli ni razmišljal o možnosti natančne meritve konstante. Nič ne more bolje prikazati pozitivne in vročične hitrosti napredka, ki jo je naredila umetnost eksperimentatorjev zadnjih dvajset let, kot dejstvo, da so od tistega časa, odkrili ne le eno, temveč veliko število metod za merjenje mase molekule s praktično enako natančnostjo kot za planet.«

Pred letom 1900 enačb, ki so vsebovale Boltzmannove faktorje, niso zapisovali z energijami na molekulo in Boltzmannovo konstanto, in so namesto tega uporabljali splošno plinsko konstanto R ter makroskopske energije za makroskopske količine snovi, kar se je še vedno v splošnem praksa v kemiji.