Barometrska enačba

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Zračni tlak in gostota zraka v odvisnosti od višine v ozračju (na grafu do 600 km)
Zračni tlak kot funkcija višine nad morsko gladino (do 20 km)

Barométrska enáčba opisuje pojemanje tlaka p\, z višino z\, v izotermnem ozračju:

 p (z) = p_{0} e^{-z/z_{0}} \!\, .

V realnem ozračju se temperatura z višino spreminja, zato velja ta zveza le približno.

Hidrostatična izpeljava[uredi | uredi kodo]

Izhaja se iz enačbe za hidrostatični tlak:

 \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z} = -\rho g \!\, .

Iz splošne plinske enačbe se lahko izrazi gostoto zraka \rho\, :

 \rho = \frac{M p}{R T} \!\, .

Ko se to vstavi v prejšnjo enačbo in preuredi, se dobi:

 \frac{\mathrm{d} p}{p} = - \frac{M g}{R T} \, \mathrm{d} z = -\frac{\mathrm{d} z}{z_{0}} \!\, .

Vpeljala se je oznaka z_{0} = R T / M g\, . Enačbo na levi strani se najprej integrira od p_{0}\, do p\, , na desni pa od z_{0}\, do z\, , zatem pa se jo še antilogaritmira, tako da se dobi:

 p = p_{0} e^{-z/z_{0}} \!\, .

Statističnomehanska izpeljava[uredi | uredi kodo]

Izhaja se iz dejstva, da mora biti v ravnovesju kemijski potencial za vsako plast ozračja enak. V nasprotnem primeru bi neenakost kemijskih potencialov privedla do prenosa snovi med plastmi in porazdelitev snovi v ozračju ne bi bila ravnovesna.

Razliko kemijskih potencialov med izbrano referenčno ravnino (z = 0\, ) in poljubno drugo ravnino pri izbrani temperaturi T\, se zapiše kot:

 \mu - \mu_{0} = \overline{H} - \overline{H}_{0} + RT \ln \frac{p}{p_{0}} \!\, .

Pri tem je \mu\, kemijski potencial, \mu_{0}\, njegova vrednost pri z = 0\, , \overline{H} entalpija na mol in \overline{H}_{0} njena vrednost pri z = 0\, , p\, tlak in p_{0}\, njegova vrednost pri z = 0\, , R\, pa splošna plinska konstanta. Zadnji člen izvira iz izraza za spremembo entropije pri izotermni spremembi.

Brez izgube splošnosti se lahko postavi \overline{H}_{0} = 0\, . Na višini z\, je entalpija večja od referenčne za težnostno potencialno energijo:

 \overline{H} = Mgz \!\, .

Pri tem je M\, molska masa plina, g\, pa težni pospešek. Odtod se dobi zvezo:

 Mgz = -RT \ln \frac{p}{p_{0}} \!\, .

Če se jo antilogaritmira, se dobi izraz za pojemanje gostote z višino:

 p (z) = p_{0} \exp \left( -\frac{Mgz}{RT} \right) \!\, .

Izraz je identičen prej izpeljanemu, če se postavi z_{0} = RT / Mg\, .