Bézoutova matrika

Bézoutova matrika (tudi bezutian) (oznaka $B_{n}\,$ za matriko reda $n\,$) je posebna kvadratna matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Matrika se imenuje po francoskem matematiku Étiennu Bézoutu (1730 – 1783).

Definicija

Naj bosta $f(z)\,$ in $g(z)\,$ dva kompleksna polinoma z največ $n\,$ keoficienti, od katerih so nekateri lahko enaki 0. To lahko zapišemo kot

$f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\quad \quad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.$.

Bézoutova matrika reda $n\,$ za polinoma $f\,$ in $g\,$ je enaka

$B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1,\dots ,n}\,$

kjer se posamezni koeficienti dobijo iz

${\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,x^{i-1}\,y^{j-1}.$.

Uporablja se prostor $\mathbb {C} ^{n\times n}$ in če označimo za vsak $i,j=1,\dots ,n\,$ z $m_{ij}=min{i,n+1-f}\,$, potem je

$b_{ij}=\sum _{k=1}^{m_{ij}}u_{j+k-1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k-1}.$

Zgledi

• Za $n=3\,$ imamo za poljubna polinoma $f\,$ in $g\,$ stopnje 3

$B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\,$

• Naj bosta $f(x)=3x^{3}-x\,$ in $g(x)=5x^{2}+1\,$ dva polinoma. Potem je

$B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right].$.

Lastnosti

• $B_{n}(f,g)\,$ je simetrična matrika
• $B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)\,$
• $B_{n}(f,f)=0\,$
• $B_{n}(f,g)\,$ je bilinearna v (f,g);
• $B_{n}(f,g)\,$ je v $\mathbb {R} ^{n\times n}$ če imata $f\,$ in $g\,$ realne koeficiente
• $B_{n}(f,g)\,$ je nesingularna z $n=max(deg(f),deg(g))\,$ če in samo, če $f\,$ in $g\,$ nimata skupnih rešitev
• $B_{n}(f,g)\,$ z $n=max(deg(f),deg(g))\,$ ima determinanto, ki je rezultanta polinomov $f\,$ in $g\,$.

Uporaba

Bézoutova matrika se uporablja v teoriji upravljanja (teorija kontroliranja).
Uporabljajo se tudi za testiranje stabilnosti polinomoma.

Zunanje povezave

• Bezoutova matrika (angleško)
• Kreiranje Bezoutove matrike (angleško)
• Uporaba Bezoutove matrike v geometriji (angleško)