Bézoutova matrika

Bézoutova matrika (tudi bezutian) (oznaka $B_{n}\!\,$ za matriko reda $n\!\,$) je posebna kvadratna matrika, ki je povezana z dvema polinomoma.

Matrika se imenuje po francoskem matematiku Étiennu Bézoutu (1730–1783).

Definicija

Naj bosta $f(z)\!\,$ in $g(z)\!\,$ dva kompleksna polinoma z največ $n\!\,$ keoficienti, od katerih so nekateri lahko enaki 0. To se lahko zapiše kot;

$f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\quad \quad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}\!\,.$

Bézoutova matrika reda $n\!\,$ za polinoma $f\!\,$ in $g\!\,$ je enaka:

$B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=1,\dots ,n}\!\,,$

kjer se posamezni koeficienti dobijo iz:

${\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}\,x^{i-1}\,y^{j-1}\!\,.$

Uporablja se prostor $\mathbb {C} ^{n\times n}\!\,$ in če se za vsak $i,j=1,\dots ,n\!\,$ označi z $m_{ij}=min{i,n+1-f}\!\,$, potem je:

$b_{ij}=\sum _{k=1}^{m_{ij}}u_{j+k-1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k-1}\!\,.$

Zgledi

• za $n=3\!\,$ je za poljubna polinoma $f\!\,$ in $g\!\,$ stopnje 3:

$B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!\,$

• naj bosta $f(x)=3x^{3}-x\!\,$ in $g(x)=5x^{2}+1\!\,$ dva polinoma. Potem je:

$B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!\,.$

Značilnosti

• $B_{n}(f,g)\!\,$ je simetrična matrika
• $B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)\!\,$
• $B_{n}(f,f)=0\!\,$
• $B_{n}(f,g)\!\,$ je bilinearna v $(f,g)\!\,$
• $B_{n}(f,g)\!\,$ je v $\mathbb {R} ^{n\times n}\!\,$ če imata $f\!\,$ in $g\!\,$ realne koeficiente
• $B_{n}(f,g)\!\,$ je nesingularna z $n=\operatorname {max} (\operatorname {deg} (f),\operatorname {deg} (g))\!\,$ če in samo če $f\!\,$ in $g\!\,$ nimata skupnih rešitev
• $B_{n}(f,g)\!\,$ z $n=\operatorname {max} (\operatorname {deg} (f),\operatorname {deg} (g))\!\,$ ima determinanto, ki je rezultanta polinomov $f\!\,$ in $g\!\,$.

Uporaba

Bézoutova matrika se uporablja v teoriji upravljanja (teorija kontroliranja).

Uporabljajo se tudi za testiranje stabilnosti polinomoma.

Zunanje povezave

• Bezoutova matrika Arhivirano 2011-06-09 na Wayback Machine. (angleško)
• Kreiranje Bezoutove matrike (angleško)
• Uporaba Bezoutove matrike v geometriji (angleško)