Wienov zakon

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Valovna dolžina, ki odgovarja vrhu sevanja za različne spektre črnih teles, kot funkcija temperature
Hladnejša žarnica oddaja rdečo svetlobo, toplejša pa belo

Wienov zákon [vínov ~] (tudi Wienov zakon o premiku) je v fiziki zakon, po katerem je zmnožek valovne dolžine \lambda_{0} vrha spektralne gostote sevanja črnega telesa in njegove absolutne temperature  T konstanten:

 \lambda_{0} T = k_{{\rm W},\lambda} \!\, .

Sorazmernostna fizikalna konstanta:

 k_{{\rm W},\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K} \!\,

je Wienova konstanta. V tej obliki konstanto označujejo tudi z b\, . Valovna dolžina vrha se zmanjšuje z naraščanjem temperature.

Za optične valovne dolžine je za enoto večkrat pripravno uporabljati nanometre namesto metrov. V tem primeru je konstanta enaka:

 k_{{\rm W},\lambda} = 2,897 \, 768 \, 5(51) \cdot 10^{6} \ \mathrm{nm \, K} \!\, .

Razlaga in vsakdanji zgledi uporabe[uredi | uredi kodo]

Zakon je leta 1893 odkril Wilhelm Wien na podlagi termodinamičnih privzetkov. Obravnaval je adiabatno razširjanje votline, ki je vsebovala svetlobno valovanje v toplotnem ravnovesju. Pokazal je, da se pri adiabatnem razširjanju ali zoževanju energija svetlobe spreminja na enak način kot frekvenca. To pomeni, da se frekvenca vrha spremeni s temperaturo. Wien ni obravnaval svoje konstante k_{W} kot novo osnovno konstanto narave. To je storil Planck. Za svoja odkritja v zvezi s sevalnimi zakoni toplote je Wien leta 1911 prejel Nobelovo nagarado za fiziko.

Po Wienovem zakonu je za toplejše telo valovna dolžina, pri kateri bo oddalo večino svojega sevanja, manjša. Največjo frekvenco dobimo, če delimo Wienovo konstanto z absolutno temperaturo.

Svetloba s Sonca in Lune[uredi | uredi kodo]

Površinska temperatura, oziroma točneje efektivna temperatura, Sonca je 5775,9 K. Po Wienovem zakonu ta temperatura odgovarja vrhu izseva pri valovni dolžini:

 \lambda_{0} = \frac{2,8977685 \cdot 10^{6}} {5777,9} = 501,5 \ \mathrm{nm} \!\, .

Ta valovna dolžina ne sovpada slučajno z najbolj občutljim delom vidne spektralne ostrine kopenskih živali. Tudi nočne živali in živali, ki lovijo v poltemi, zaznavajo svetlobo iz večerne svetlobe in z Lune, ki je odbita sončna svetloba z enako porazdelitvijo valovne dolžine. Tudi srednja valovna dolžina največje moči svetlobe zvezd leži v tem obsegu, saj je Sonce v sredini običajnega temperaturnega obsega zvezd.

V članku o barvi je opisan razpon, ki da belo svetlobo. Zaradi Rayleighovega sipanja modre svetlobe v ozračju se ta bela svetloba razdvoji, kar povzroči, da je nebo modro, Sonce pa rumeno.

Wienovo konstanto lahko uporabimo v različnih enotah.

Svetloba iz razžarjenih žarnic in plamenov[uredi | uredi kodo]

Žarnica ima žarečo nitko z nekoliko nižjo temepraturo, ki da rumeno svetlobo. Kar je »vroče rdeče«, ima spet nižjo temperaturo. Ni težko izračunati, da ima lesni ogenj pri 1500 K vrh sevanja pri valovni dolžini:

 \lambda_{0} = \frac{3 \cdot 10^{6}} {1500} = 2000 \ \mathrm{nm} \!\, ,

ki se nahaja v infrardečem delu spektra, in ne v vidnem, ki sega nekako do 750 nm.

Sevanje sesalcev in živega človeškega telesa[uredi | uredi kodo]

Sesalci pri približno 300 K sevajo pri 3 tisoč μm K / 300 K = 10 μm - zelo daleč v infrardečem delu. To je obseg infrardečih valovnih dolžin, ki ga zaznajo gadi ali pasivne IR-kamere.

Valovna dolžina sevanja prapoka[uredi | uredi kodo]

Wienov zakon velja tudi za sevanje črnega telesa, ki izhaja iz prapoka. Če je Wienova konstanta približno 3 mm K in temperatura sevanja kozmičnega ozadja prapoka približno 3 K (oziroma 2,7 K), je razvidno, da je vrh mikrovalovnega ozadja neba pri 2,9 mm K / 2,7 K = malo nad 1 mm v mikrovalovnem delu. Zato mora biti mikrovalovna oprema za merjenje kozmičnega mikrovalovnega sevanja ozadja občutljiva na obeh straneh tega frekvenčnega obsega.

Vrhovi svetlobnega toka črnih teles[uredi | uredi kodo]

Razpredelnica podaja vrhove izsevanega svetlobnega toka nekaterih idealiziranih črnih teles, oziroma stanj.

T
[ K ]
\vartheta
[ °C ]
telo/stanje \lambda_{0}
[ nm ]
0,0648 -272,935 svetlobni tok, ki ga še zazna človeško oko 4,472 · 107
2,7277 -270,4223 kozmično mikrovalovno prasevanje ozadja 1,062 · 106
14,01 -259,14 tališče vezanega vodika 206.835,725
184 -89 najnižja izmerjena temperatura na Zemlji (1983) 15.748,742
273,15 0 led 10.608,708
288 15 povprečna temperatura na Zemlji 10.061,696
298 25 sobna temperatura 9724,055
309,8 36,8 povprečna temperatura človeškega telesa 9353,675
331 58 najvišja izmerjena temperatura na Zemlji (1922) 8754,588
394 121 Sončev izsev na robu ozračja 7354,742
503 230 vroče varilno jeklo 5760,971
773 500 vroča grelna naprava 3748,730
1273 1000 rumeni plamen 2276,330
1941 1668 staljeni titan 1492,926
2041,4 1768,4 staljena platina 1419,501
2773 2500 žička svetilke 1044,994
5776 Sončeva površina 501,5
25.000 srednja temperatura Vesolja 10.000 let po prapoku 115,911
15,7 · 106 Sončevo jedro 0,185
10 · 109 izbruh supernove 2,898 · 10-4
140 · 1030 * Planckova temperatura mikročrne luknje
* temperatura Vesolja 500 · 10-42 s po prapoku
2,070 · 10-26

Frekvenčna oblika[uredi | uredi kodo]

S frekvenco \nu \, ima Wienov zakon obliko:

\frac{\nu_{0}}{T} = \frac{x k_{\rm B}}{h} = k_{{\rm W},\nu} \!\, ,

kjer je Wienova konstanta:

 k_{{\rm W},\nu} = 5,878 \, 933(10) \cdot 10^{10} \ \mathrm{ s^{-1} \, K^{-1}}\!\,

in x \approx 2,821439... konstanta, ki izhaja iz numerične rešitve enačbe za maksimum, k_{\rm B}\, Boltzmannova konstanta, h Planckova konstanta in T absolutna temperatura. V tej obliki konstanto označujejo tudi z b'\, .

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Wien je prvič izpeljal zakon leta 1893 s pomočjo zakonov termodinamike za elektromagnetno valovanje.[1] Kot je značilno za termodinamske privzetke, Wienova izpeljava določa funkcionalno obliko povezav, ne določa pa vrednosti Wienove konstante za valovne dolžine in frekvence. Adiabatna invarianta energija/frekvenca je le funkcija adiabatne invariante frekvence/temperature:

 u(k_{\rm B},T)/\nu = F(\nu/T) \!\,

Obliko funkcije F danes poznamo iz Planckovega zakona za sevanje črnega telesa:

 F(\nu/T) = \frac{1}{e^{h\nu /(k_{\rm B} T)} -1} \approx \frac{1}{e^{h\nu/(k_{\rm B} T)}} \!\, .

Danes običajno Wienov zakon izpeljemo iz Planckovega zakona, saj na ta način da račun tudi izraza za Wienovi konstanti, izraženi z osnovnimi konstantami. Wien je za funkcijo F privzel eksponentno obliko, kar je Wienov približek, približek za velike frekvence. Ne glede na to kakšno obliko ima F, je lega vrha porazdelitve kot funkcije frekvence strogo sorazmerna s T.

Za običajno obliko krivulje črnega telesa moramo energijo pomnožiti z gostoto pri dani frekvenci \nu:

 \mathrm{d}^{3}k = 4\pi |k|^{2} \mathrm{d} |k| \propto \nu^{2} \mathrm{d} \nu \!\, ,

tako da je ta gostota sorazmerna s kvadratom frekvence. Celotni energiji na enoto frekvence prištejemo \nu^2 da dobimo celotno energijo pri frekvenci \nu:

 u(\nu,T) \propto \nu^{3} F(\nu/T) \!\, .

Ta izraz za gostoto s frekvenco lahko s spremebo spremenljivk pretvorimo v gostoto z valovno dolžino:

 u(\nu,T) \mathrm{d} \nu = u(\lambda,T) \mathrm{d} \lambda \!\, .

Ker je \nu=c/\lambda, dobimo dodatni faktor \mathrm{d} \nu / \mathrm{d} \lambda = c / \lambda^2:

 u(\lambda,T) \propto \frac{1}{\lambda^{5}} F(c/\lambda T) \!\, .

Različni spremenljivki dodata le potenčni člen pred funkcijo F. Poljubna funkcija U ima obliko:

 U(x) = x^{a} F(x/T) \!\, .

Lego maksimuma ali minimuma fukcije U določa njen odvod, ki ga enačimo z nič:

0= \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} x} = a x^{a-1} F(x/T ) + \frac{x^{a}}{T} \frac{\mathrm{d} F (x/T)}{\mathrm{d} x} \!\, .

Člen x^{a-1} se poniči, tako da je:

 a F(x/T) + \frac{x}{T} \frac{\mathrm{d} F (x/T)}{\mathrm{d} x} = 0 \!\, .

To je enačba za x/T, tako da je minimum ali maksimum U v neki določeni vrednosti x/T, in x je vedno strogo sorazmeren s T. To je zakon o premiku vrha - lega vrha je sorazmerna s temperaturo, ne glede na to ali je gostota izražena z valovnim številom, frekvenco, obratno vrednostjo valovne dolžine ali s katerikoli spremenljivko, kjer je jakost pomnožena s potenco te spremenljivke.

Točna številčna lega vrha porazdelitve je odvisna od tega kako jo obravnavamo - ali z valovnim številom, na enoto frekvence, na enoto valovne dolžine, saj ima potenčni zakon pred funkcijo F različne oblike.

Oblika za valovne dolžine[uredi | uredi kodo]

Spektralna gostota črnega telesa je po Planckovem zakonu enaka:

 u(\lambda,T) = \frac{2\pi h c}{\lambda^{5}} \frac{1}{e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}-1} \!\, .

Iščemo vrednost za \lambda, kjer ima funkcija maksimum. Odvajamo funkcijo u(\lambda,T) po \lambda in enačimo z 0:

 \frac{ \partial u}{\partial \lambda } = 8\pi h c \left( \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda^{7}} \frac{e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}} {\left(e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda )}-1\right)^2} - \frac{1} {\lambda^{6}} \frac{5} {e^{h c/(k_{\rm B} T \lambda)}-1} \right) = 0 \!\, .

Po urejanju dobimo:

 \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda} \frac{1}{1-e^{-h c/(k_{\rm B} T \lambda)}} - 5 = 0 \!\, .

Če uvedemo novo spremenljivko:

 x \equiv \frac{hc}{k_{\rm B} T \lambda } \!\, ,

dobimo:

 \frac{x}{1-e^{-x}} - 5 = 0 \!\, .

Enačbo ne moremo rešiti na elementaren način. Rešimo jo s pomočjo Lambertove funkcije W. Rešitev je:

 x = 5 + W\left( \frac{-5}{e^{5}}\right) = 4,965114231744276 \ldots \!\, .

Wienov zakon ima tako obliko:

\lambda_{0} T = \frac{hc}{x k_{\rm B}} = 0,20140525\ldots \frac{hc}{k_{\rm B}} =
 2,89776829\ldots \cdot 10^{-3} \ \mathrm{m \, K} .

Oblika za frekvence[uredi | uredi kodo]

Podobno dobimo frekvenčno obliko iz Planckovega zakona za frekvence:

 u(\nu,T) = \frac{2\pi h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{1}{e^{h\nu/(k_{\rm B}T)}-1} \!\, .

Odvajamo funkcijo u(\nu,T) po \nu in enačimo z 0:

 \frac{ \partial u}{\partial \nu } = \frac{2\pi h}{c^{2}} \left( \frac{3\nu} {e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}-1} - \frac{h\nu^{2}}{k_{\rm B} T} \frac{e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}} {\left(e^{h \nu/(k_{\rm B} T)}-1\right)^2} \right) = 0 \!\, .

Če uredimo, dobimo:

 3 - \frac{h\nu}{k_{\rm B} T}\frac{1}{1-e^{-h\nu/(k_{\rm B} T)}} = 0 \!\,

in uvedemo novo spremenljivko:

x = \frac{h\nu}{k_{\rm B} T} \!\, ,

kar da:

3 - \frac{x}{1-e^{-x}} = 0 \!\, .

Rešitev je podobna:

 x = 3 + W\left( \frac{-3}{e^{3}}\right) = 2,821439372122079 \ldots \!\, ,

Wienov zakon pa ima obliko:

\frac{\nu_0}{T} = \frac{x k_{\rm B}}{h} = 5,87893280\ldots \cdot 10^{10} \ \mathrm{s^{-1} \, K^{-1}} \!\, .

Značilnosti[uredi | uredi kodo]

Graf funkcije \frac{x + W\left( -x/e^{x}\right)}{y + W\left( -y/e^{y}\right)}. Pri x=5, y=3 je vrednost funkcije 1,759780586 \ldots

Ker ima spekter v Planckovem zakonu različno obliko za frekvenco in valovno dolžino, frekvenčni vrhovi ne ustrezajo vrhovom valovnih dolžin s preprosto zvezo med frekvenco, valovno dolžino in hitrostjo svetlobe:

 c = \lambda \nu \!\, .

Tako velja:

 \frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} > 1 \!\,

in:

\begin{align}
\frac {c}{\lambda_{0} \nu_{0}} & = \frac{c}{k_{{\rm W},\lambda} \, k_{{\rm W},\nu}} = \frac{5 + W\left( -5/e^{5}\right)}{3 + W\left(-3/e^{3}\right)} \\
                               & = 1,759780586 \ldots \!\, . \\
\end{align}

Wienovi konstanti sta:

 k_{{\rm W},\lambda} = \frac{c_{2}}{5 + W\left( -5/e^{5}\right)} \!\, ,
 k_{{\rm W},\nu} = \left[3 + W\left(-3/e^{3}\right) \right] \frac{c}{c_{2}} \!\, ,

izraženi z drugo sevalno konstanto:

 c_{2} = \frac{h c}{k_{\rm B}} \!\, .

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Mehra, J.; Rechenberg, H, The Historical Development of Quantum Theory, Volume 1 Chapter 1, Springer, 1982

Viri[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]