Weibullova porazdelitev

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Wiebullova (2 parametrična) porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
Zbirna funkcija verjetnosti za Weibullovo porazdelitev.
oznaka Wei(\lambda, k) \!
parametri \lambda>0\, parameter merila (realno število)
k>0\, parameter oblike (realno število)
interval x \in [0; +\infty)\,
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
1- e^{-(x/\lambda)^k}
pričakovana vrednost \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,
mediana \lambda(\ln(2))^{1/k}\,
modus \lambda \left(\frac{k-1}{k} \right)^{\frac{1}{k}}\,
če je k>1\!
varianca \lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,
simetrija \frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}
sploščenost (glej opis na levi strani))
entropija \gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1
funkcija generiranja momentov
(mgf)
\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1
karakteristična funkcija \sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)

Weibullova porazdelitevje družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po Waloddiju Weibullu (1887 – 1979), ki je to vrsto porazdelitve opisal v letu 1951. Prvi pa jo je opisal francoski matematik Maurice René Fréchet (1878 – 1973).

Pomembno področje uporabe Weibullove porazdelitve je analiza preživetja oziroma analiza zanesljivosti (odpovedi) tehničnih naprav.

Za različne vrednosti parametra k velja :

  • Če je k<1, pogostost odpovedi pada s časom. To se zgodi, če obstojajo pomembne začetne odpovedi posameznih komponent naprave.
  • Kadar je k = 1 imamo stanje v katerem je število odpovedi konstantno v časovnem obdobju. To pomeni, da samo slučajni zunanji vplivi povzročajo odpovedi posameznih komponent naprave.
  • Kadar pa je k>1, nam to pomeni, da število odpovedi raste s časom. To je lahko posledica staranja.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za Weibullovo porazdelitev je

f(x)=\begin{cases}
\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}} & x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}

kjer je

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

1- e^{-(x/\lambda)^k}

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,\!.

kjer je

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka

\lambda^2\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \mu^2\,.

kjer je

Sploščenost[uredi | uredi kodo]

Sploščenost je enaka je enaka

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2
-4\Gamma_1\Gamma_3+\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}

kjer je

Sploščenost lahko napišemo tudi kot

\gamma_{2}=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}.

Koeficient simetrije[uredi | uredi kodo]

Koeficient simetrije je enak

\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}.

Entropija[uredi | uredi kodo]

Entropija je enaka

\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\ln\left(\frac{\lambda}{k}\right)+1

kjer je

Funkcija generiranja momentov[uredi | uredi kodo]

Funkcija generiranja momentov je

\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right), \ k\geq1

Karakteristična funkcija[uredi | uredi kodo]

Karakteristična funkcija je enaka:

\sum_{n=0}^\infty \frac{(it)^n\lambda^n}{n!}\Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right)

Weibullova porazdelitev s tremi parametri[uredi | uredi kodo]

Posplošitev Weibullove porazdelitve z dvema parametroma je Weibullova porazdelitev s tremi parametri. Zanjo je funkcija gostote verjetnosti enaka

f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-({x-\theta \over \lambda})^k}\,

kjer je

Weibullovo porazdelitev z dvema parametroma dobimo, če je  \theta = 0 \!.

Weibullova porazdelitev z enim parametrom[uredi | uredi kodo]

Weibullovo porazdelitev z enim prametrom dobimo, če je  k = C\! (konstanta) in je v porazdelitvi s tremi parametri vrednost  \theta = 0\!:

f(x;\lambda)={C \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{C-1} e^{-({x \over \lambda})^C}\,

kjer je

Povezave z drugimi porazdelitvami[uredi | uredi kodo]

\mathrm{Exp}(\lambda) \equiv \mathrm{Wei}\left(1, \frac{1}{\lambda}\right).

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Weibullova porazdelitev se uporablja na naslednjih področjih

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]