Walshova matrika

Walshova matrika (oznaka $H \,$) je kvadratna matrika, ki ima za elemente samo vrednosti +1 in -1. Značilnost Walshove matrike je tudi, da je skalarni produkt dveh različnih vrstic ali stolpcev enak 0. Vsaka vrstica odgovarja vrednostim Walshove funkcije. Pogosto Walshovo matriko enačijo s Hadamardovo matriko, oziroma med njima ne delajo razlike.

Imenuje se po ameriškem matematiku Josephu Leonardu Walshu (1895 – 1973), ki jo je prvi predlagal v letu 1923 .

Definicija

$H(2^0) = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix},$

$H(2^1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix},$

$H(2^2) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ \end{bmatrix},$

Splošna oblika pa je

$H(2^k) = \begin{bmatrix} H(2^{k-1}) & H(2^{k-1})\\ H(2^{k-1}) & -H(2^{k-1})\end{bmatrix} = H(2)\otimes H(2^{k-1}),$

za vse $2 \le k \quad \text {kjer je} \quad k \epsilon N \,$
in

• $\otimes \,$ pomeni Kroneckerjev produkt

Matrika, ki jo dobimo z uporabo rekurzivnega obrazca, se imenuje naravna urejenost v Hadamardovih matrikah. Kadar pa preuredimo zaporedje vrstic tako, da je zaporedje sprememb predznakov elementov rastoče , dobimo matriko, ki je zaporedno urejena. Tako za zgornjo matriko $H(2^2) \,$ dobimo matriko, ki ima nasledno obliko (označena je z $W(4) \,$)

$W(4) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ \end{bmatrix}$

V tej matriki je v prvi vrstici ni sprememb predznakov, v drugi je ena sprememba, v tretji dve, v četrti pa 3 spremembe predznakov v vrednostih elementov matrike.