Walshova matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Walshova matrika (oznaka  H \,) je kvadratna matrika, ki ima za elemente samo vrednosti +1 in -1. Značilnost Walshove matrike je tudi, da je skalarni produkt dveh različnih vrstic ali stolpcev enak 0. Vsaka vrstica odgovarja vrednostim Walshove funkcije. Pogosto Walshovo matriko enačijo s Hadamardovo matriko, oziroma med njima ne delajo razlike.

Imenuje se po ameriškem matematiku Josephu Leonardu Walshu (1895 – 1973), ki jo je prvi predlagal v letu 1923 [1].

Definicija[uredi | uredi kodo]


H(2^0) = \begin{bmatrix}
1      \end{bmatrix},

H(2^1) = \begin{bmatrix}
1 &  1 \\
1 & -1 \end{bmatrix},

H(2^2) = \begin{bmatrix}
1 &  1  & 1 & 1\\
1 & -1  & 1 & -1\\
1 & 1   & -1 & -1\\
1 & -1 & -1  & 1\\
\end{bmatrix},

Splošna oblika pa je


H(2^k) = \begin{bmatrix}
H(2^{k-1}) &  H(2^{k-1})\\
H(2^{k-1})  & -H(2^{k-1})\end{bmatrix} = H(2)\otimes H(2^{k-1}),

za vse  2 \le k \quad \text {kjer je} \quad k \epsilon N \,
in

Matrika, ki jo dobimo z uporabo rekurzivnega obrazca, se imenuje naravna urejenost v Hadamardovih matrikah. Kadar pa preuredimo zaporedje vrstic tako, da je zaporedje sprememb predznakov elementov rastoče [1], dobimo matriko, ki je zaporedno urejena. Tako za zgornjo matriko  H(2^2) \, dobimo matriko, ki ima nasledno obliko (označena je z  W(4) \,)


W(4) = \begin{bmatrix}
1 &  1  & 1 & 1\\
1 & 1   & -1 & -1\\
1 & -1 & -1  & 1\\
1 & -1  & 1 & -1\\

\end{bmatrix}

V tej matriki je v prvi vrstici ni sprememb predznakov, v drugi je ena sprememba, v tretji dve, v četrti pa 3 spremembe predznakov v vrednostih elementov matrike.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Adaptive Prediction and Predictive Control, by P. P. Kanjilal, p 210, 1995, IET, ISBN 0863411932