Walsheva matrika

Walsheva matrika (oznaka $H\,$) je kvadratna matrika, ki ima za elemente samo vrednosti +1 in -1. Značilnost Walsheve matrike je tudi, da je skalarni produkt dveh različnih vrstic ali stolpcev enak 0. Vsaka vrstica odgovarja vrednostim Walsheve funkcije. Pogosto Walshevo matriko enačijo s Hadamardovo matriko, oziroma med njima ne delajo razlike.

Imenuje se po ameriškem matematiku Josephu Leonardu Walshu (1895 – 1973), ki jo je prvi predlagal v letu 1923.

Definicija

$H(2^{0})={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},$

$H(2^{1})={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},$

$H(2^{2})={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},$

Splošna oblika pa je

$H(2^{k})={\begin{bmatrix}H(2^{k-1})&H(2^{k-1})\\H(2^{k-1})&-H(2^{k-1})\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H(2^{k-1}),$

za vse $2\leq k\quad {\text{kjer je}}\quad k\epsilon N\,$
in

• $\otimes \,$ pomeni Kroneckerjev produkt

Matrika, ki jo dobimo z uporabo rekurzivnega obrazca, se imenuje naravna urejenost v Hadamardovih matrikah. Kadar pa preuredimo zaporedje vrstic tako, da je zaporedje sprememb predznakov elementov rastoče, dobimo matriko, ki je zaporedno urejena. Tako za zgornjo matriko $H(2^{2})\,$ dobimo matriko, ki ima nasledno obliko (označena je z $W(4)\,$)

$W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}}$

V tej matriki je v prvi vrstici ni sprememb predznakov, v drugi je ena sprememba, v tretji dve, v četrti pa 3 spremembe predznakov v vrednostih elementov matrike.

Viri

• Kanjilal, P. P. (1995). Adaptive Prediction and Predictive Control. IET. ISBN 0863411932.