Villarceaujevi krožnici

Animacija, ki prikazuje kako nam poševni presek torusa, da dve krožnici, ki sta znani kot Villarceaujevi krožnici

Villarceaujevi króžnici [vilarsójevi ~] sta dve krožnici, ki nastaneta takrat, ko prerežemo torus skozi središče pod določenim kotom. Skozi poljubno točko na torusu lahko tako dobimo štiri krožnice. Prva je v ravnini, ki je vzporedna ekvatorialni ravnini torusa. Druga ravnina je pravokotna nanjo. Drugi dve sta Villarceaujevi krožnici.

Krožnici se imenujeta po francoskem matematiku Yvonu Villarceauju (1813 – 1883).

Zgled

Za zgled naj bo torus dan z implicitno enačbo kot množica točk na krožnicah s polmerom 3 okoli točk na krožnici s plmerom 5 v xy ravnini

$0 = (x^2+y^2+z^2 + 16)^2 - 100(x^2+y^2) \,\!$.

Rezanje z ravnino z = 0 tvori dve koncentrični krožnici x² + y² = 2² in x² + y² = 8².

Rezanje z ravnino x = 0 pa tvori dve krožnici, ki ležita druga ob drugi (y − 5)² + z² = 3² in (y + 5)² + z² = 3².

Dve Villarceaujevi krožnici pa dobimo z rezanjem z ravnino 4x = 4z. Ena izmed njih ima središče v točki (0, +3,0), druga pa v (0, -3,0). Obe pa imata polmer enak 5. Napišemo ju lahko v parametrični obliki kot

$(x,y,z) = (4 \cos \vartheta, +3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) \,\!$

in

$(x,y,z) = (4 \cos \vartheta, -3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) . \,\!$

Ravnina rezanja je tako izbrana, da je ta tangentna na torus in poteka skozi njegovo središče. V tem primeru sta tangenti v točkah (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) in pri (⁻¹⁶⁄₅, 0, ⁻¹²⁄₅). Kot rezanja je določen z velikostjo torusa. Z vrtenjem ravnine okoli vertikalne osi, dobimo vse možnosti za dani torus.

Glej tudi

• presek torusa

Zunanje povezave

• Villarceaujevi krožnici na MathWorld (v angleščini)
• Villarceaujevi krožnici na Wolfram Alpha (v angleščini)
• Krožnice torusa (v francoščini)