Villarceaujevi krožnici

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Animacija, ki prikazuje kako nam poševni presek torusa, da dve krožnici, ki sta znani kot Villarceaujevi krožnici

Villarceaujevi króžnici [vilarsójevi ~] sta dve krožnici, ki nastaneta takrat, ko prerežemo torus skozi središče pod določenim kotom. Skozi poljubno točko na torusu lahko tako dobimo štiri krožnice. Prva je v ravnini, ki je vzporedna ekvatorialni ravnini torusa. Druga ravnina je pravokotna nanjo. Drugi dve sta Villarceaujevi krožnici.

Krožnici se imenujeta po francoskem matematiku Yvonu Villarceauju (1813 – 1883).

Zgled[uredi | uredi kodo]

Za zgled naj bo torus dan z implicitno enačbo kot množica točk na krožnicah s polmerom 3 okoli točk na krožnici s plmerom 5 v xy ravnini

 0 = (x^2+y^2+z^2 + 16)^2 - 100(x^2+y^2) \,\! .

Rezanje z ravnino z = 0 tvori dve koncentrični krožnici x2 + y2 = 22 in x2 + y2 = 82.

Rezanje z ravnino x = 0 pa tvori dve krožnici, ki ležita druga ob drugi (y − 5)2 + z2 = 32 in (y + 5)2 + z2 = 32.

Dve Villarceaujevi krožnici pa dobimo z rezanjem z ravnino 4x = 4z. Ena izmed njih ima središče v točki (0, +3,0), druga pa v (0, -3,0). Obe pa imata polmer enak 5. Napišemo ju lahko v parametrični obliki kot

 (x,y,z) = (4 \cos \vartheta, +3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) \,\!

in

 (x,y,z) = (4 \cos \vartheta, -3+5 \sin \vartheta, 3 \cos \vartheta) . \,\!

Ravnina rezanja je tako izbrana, da je ta tangentna na torus in poteka skozi njegovo središče. V tem primeru sta tangenti v točkah (165, 0, 125) in pri (−165, 0, −125). Kot rezanja je določen z velikostjo torusa. Z vrtenjem ravnine okoli vertikalne osi, dobimo vse možnosti za dani torus.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]