Villarceaujevi krožnici

Animacija, ki prikazuje kako poševni presek torusa, da dve krožnici, ki sta znani kot Villarceaujevi krožnici

Villarceaujevi króžnici [vilarsójevi ~] sta dve krožnici, ki nastaneta takrat, ko se torus pod določenim kotom prereže skozi središče. Skozi poljubno točko na torusu lahko tako nastanejo štiri krožnice. Prva je v ravnini, ki je vzporedna ekvatorialni ravnini torusa. Druga ravnina je pravokotna nanjo. Drugi dve sta Villarceaujevi krožnici.

Krožnici se imenujeta po francoskem astronomu, matematiku in inženirju Yvonu Villarceauju (1813 – 1883).

Zgled

Za zgled naj bo torus dan z implicitno enačbo kot množica točk na krožnicah s polmerom 3 okrog točk na krožnici s polmerom 5 v ravnini xy:

$0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2})\,\!.$

Rezanje z ravnino z = 0 tvori dve istosrediščni krožnici x² + y² = 2² in x² + y² = 8².

Rezanje z ravnino x = 0 pa tvori dve krožnici, ki ležita druga ob drugi (y − 5)² + z² = 3² in (y + 5)² + z² = 3².

Dve Villarceaujevi krožnici nastaneta z rezanjem z ravnino 3x = 4z. Ena izmed njih ima središče v točki (0, +3,0), druga pa v (0, -3,0). Obe pa imata polmer enak 5. Napišeta se lahko v parametrični obliki kot:

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,+3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!$

in

$(x,y,z)=(4\cos \vartheta ,-3+5\sin \vartheta ,3\cos \vartheta )\,\!.$

Ravnina rezanja je tako izbrana, da je ta tangentna na torus in poteka skozi njegovo središče. V tem primeru sta tangenti v točkah (¹⁶⁄₅, 0, ¹²⁄₅) in pri (⁻¹⁶⁄₅, 0, ⁻¹²⁄₅). Kot rezanja je določen z velikostjo torusa. Z vrtenjem ravnine okrog navpične osi, se dobijo vse možnosti za dani torus.

Glej tudi

• presek torusa

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Villarceau Circles«. MathWorld.
• Villarceaujevi krožnici na Wolfram Alpha (angleško)
• Krožnice torusa (francosko)