Uniformno tlakovanje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Uniformno tlakovanje je v geometriji vrsta teselacije ravnine s stranskimi ploskvami pravilnega mnogokotnika (uniformni polieder ima pravilne mnogokotnike kot stranske ploskve) z edino omejitvijo, da so ogliščno uniformni.

Uniformno tlakovanje je možno v evklidski in hiperbolični ravnini.

Večino uniformnih tlakovanj lahko izdelamo s pomočjo Wythoffove konstrukcije tako, da pričnemo z grupo simetrije in posamezno generatorsko točko znotraj osnovne domene. Ravninska grupa simetrije ima mnogokotniško osnovno domeno in jo lahko predstavimo z zaporedjem zrcal v zaporednih ogliščih.

Osnovna domena trikotnika je (p q r) kjer so p, q, r cela števila, večja od 1 ter pravokotni trikotnik (p q 2). Trikotnik lahko obstoja kot sferni trikotnik, evklidski ravninski trikotnik ali hiperbolični ravninski trikotnik, kar je odvisno od vrednosti p, q, in r.

Obstoja več simboličnih shem za imenovanje teh oblik.

Coxeterjeve grupe[uredi | uredi kodo]

Evklidska ravnina
orbifold
simetrija
Coxeterjeva grupa Coxeter-Dynkinov
diagram
opombe
kompaktne
*333 (3 3 3) {\tilde{A}}_2 [Δ] CDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png 3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
*442 (4 4 2) {\tilde{B}}_2 [4,4] CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 5 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*632 (6 3 2) {\tilde{G}}_2 [6,3] CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 7 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*2222 (∞ 2 ∞ 2) {\tilde{I}}_1 × {\tilde{I}}_1 [∞] × [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png 3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
nekompaktne
*∞∞ (∞) {\tilde{I}}_1 [∞] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
*22∞ (2 2 ∞) {\tilde{I}}_1 × {\tilde{A}}_2 [∞] × [ ] CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png 2 zrcalni obliki, 1 prirezana oblika
Hiperbolična ravnina
orbifold
simetrija
Coxeterjeva grupa Coxeter-Dynkinov
diagram
opombe
kompaktne
*pq2 (p q 2) [p,q] CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png 2p+2q < pq
*pqr (p q r) CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png pq+pr+qr < pqr
nekompaktne
*∞p2 (p ∞ 2) [p,∞] CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png p>=3
*∞pq (p q ∞) CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel infin.png p,q>=3, p+q>6
*∞∞p (p ∞ ∞) CDel 3.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png p>=3
*∞∞∞ (∞ ∞ ∞) CDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.png

Uniformno tlakovanje evklidske ravnine[uredi | uredi kodo]

Obstojajo grupe simetrije na evklidski ravnini, ki jo konstruiramo iz osnovnih trikotnikov (4 4 2) in (3 3 3). Vsakega lahko prikažemo kot množico črt odboja, ki deli ravnino v osnovne trikotnike.

Ta simetrija ustvarja tri pravilna tlakovanja in sedem polpravilnih. Številna polpravilna tlakovanja so ponovitve z različnimi konstruktorji.

Prizmatična grupa simetrije, ki je predstavljena z (2 2 2 2) pomeni skupino dveh vzporednih zrcal, ki v splošnem imata pravokotno osnovno domeno.

Naslednja prizmatična grupa simetrije, ki jo predstavlja (∞ 2 2) in ima neskončno osnovno domeno. Konstruira dve uniformni tlakovanji apeirogonalno prizmo in apeirogonalno antiprizmo.

Osnovni trikotniki so pravokotni trikotniki: (p q 2)

(p q 2) osnovni
trikotniki
starševsko prisekano rektificirano dvojno prisekano dvojno rektificirano
(dual)
kantelirano omniprisekano
(kantiprisekano)
prirezana oblika
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
slika oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
kvadratno tlakovanje
(4 4 2)
Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg
V4.8.8
Uniform tiling 44-t0.png
{4,4}
Uniform tiling 44-t01.png
4.8.8
Uniform tiling 44-t1.png
4.4.4.4
Uniform tiling 44-t12.png
4.8.8
Uniform tiling 44-t2.png
{4,4}
Uniform tiling 44-t02.png
4.4.4.4
Uniform tiling 44-t012.png
4.8.8
Uniform tiling 44-snub.png
3.3.4.3.4
šestkotno tlakovanje
(6 3 2)
Tile V46b.svg
V4.6.12
Uniform tiling 63-t0.png
{6,3}
Uniform tiling 63-t01.png
3.12.12
Uniform tiling 63-t1.png
3.6.3.6
Uniform tiling 63-t12.png
6.6.6
Uniform tiling 63-t2.png
{3,6}
Uniform tiling 63-t02.png
3.4.6.4
Uniform tiling 63-t012.png
4.6.12
Uniform tiling 63-snub.png
3.3.3.3.6


Splošni osnovni trikotniki: (p q r)

Wythoffov simbol
(p q r)
osnovni
trikotniki
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.png
slika oglišč (p.q)r (r.2p.q.2p) (p.r)q (q.2r.p.2r) (q.r)p (q.2r.p.2r) (r.2q.p.2q) (3.r.3.q.3.p)
Triangular
(3 3 3)

V6.6.6
Uniform tiling 333-t0.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t01.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t1.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t12.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t2.png
(3.3)3
Uniform tiling 333-t02.png
3.6.3.6
Uniform tiling 333-t012.png
6.6.6
Uniform tiling 333-snub.png
3.3.3.3.3.3

Uniformna tlakovanja hiperbolične ravnine[uredi | uredi kodo]

Znanih je neskončno veliko uniformnih tlakovanj s konveksnimi mnogokotniki v [[hiperbolična ravnina|hiperbolični ravnini. Vsako tlakovanje je osnovano na drugi grupi zrcalne simetrije (p q r).

Pravi koti so osnovni trikotniki: (p q 2)

(p q 2) osnovni
trikotniki
starševski prisekano rektificirano dvojno prisekano dvojno rektificirano
(dualno)
kantelirano omniprisekano
(kantiprisekano)
prirezana oblika
Wythoffov simbol q | p 2 2 q | p 2 | p q 2 p | q p | q 2 p q | 2 p q 2 | | p q 2
Schläflijev simbol t0{p,q} t0,1{p,q} t1{p,q} t1,2{p,q} t2{p,q} t0,2{p,q} t0,1,2{p,q} s{p,q}
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
slika oglišč pq (q.2p.2p) (p.q.p.q) (p.2q.2q) qp (p.4.q.4) (4.2p.2q) (3.3.p.3.q)
(hiperbolična ravnina)
(5 4 2)
Order-4 bisected pentagonal tiling.png Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
Uniform tiling 54-t01.png
4.10.10
Uniform tiling 54-t1.png
4.5.4.5
Uniform tiling 54-t12.png
5.8.8
Uniform tiling 54-t2.png
{4,5}
Uniform tiling 54-t02.png
4.4.5.4
Uniform tiling 54-t012.png
4.8.10
Uniform tiling 54-snub.png
3.3.4.3.5
(hiperbolična ravnina)
(5 5 2)
Order-5 bisected pentagonal tiling.png Uniform tiling 552-t0.png
{5,5}
Uniform tiling 552-t01.png
5.10.10
Uniform tiling 552-t1.png
5.5.5.5
Uniform tiling 552-t12.png
5.10.10
Uniform tiling 552-t2.png
{5,5}
Uniform tiling 552-t02.png
5.4.5.4
Uniform tiling 552-t012.png
4.10.10
Uniform tiling 552-snub.png
3.3.5.3.5
(hiperbolična ravnina)
(7 3 2)
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
Uniform tiling 73-t01.png
3.14.14
Uniform tiling 73-t1.png
3.7.3.7
Uniform tiling 73-t12.png
7.6.6
Uniform tiling 73-t2.png
{3,7}
Uniform tiling 73-t02.png
3.4.7.4
Uniform tiling 73-t012.png
4.6.14
Uniform tiling 73-snub.png
3.3.3.3.7
(hiperbolična ravnina)
(8 3 2)
Order-3 octakis octagonal tiling.png Uniform tiling 83-t0.png
{8,3}
Uniform tiling 83-t01.png
3.16.16
Uniform tiling 83-t1.png
3.8.3.8
Uniform tiling 83-t12.png
8.6.6
Uniform tiling 83-t2.png
{3,8}
Uniform tiling 83-t02.png
3.4.8.4
Uniform tiling 83-t012.png
4.6.16
Uniform tiling 83-snub.png
3.3.3.3.8

Splošni osnovni trikotniki (p q r)

Wythoffov simbol
(p q r)
osnovni
trikotniki
q | p r r q | p r | p q r p | q p | q r p q | r p q r | | p q r
Coxeter-Dynkinov diagram CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel r.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.pngCDel r.png
slika oglišč (p.r)q (r.2p.q.2p) (p.q)r (q.2r.p.2r) (q.r)p (q.2r.p.2r) (r.2q.p.2q) (3.r.3.q.3.p)
hiperbolična
(4 3 3)
Uniform dual tiling 433-t012.png Uniform tiling 433-t0.png
(3.4)3
Uniform tiling 433-t01.png
3.8.3.8
Uniform tiling 433-t1.png
(3.4)3
Uniform tiling 433-t12.png
3.6.4.6
Uniform tiling 433-t2.png
(3.3)4
Uniform tiling 433-t02.png
3.6.4.6
Uniform tiling 433-t012.png
6.6.8
Uniform tiling 433-snub.png
3.3.3.3.3.4
hiperbolična
(4 4 3)
Uniform dual tiling 443-t012.png Uniform tiling 443-t0.png
(3.4)4
Uniform tiling 443-t01.png
3.8.4.8
Uniform tiling 443-t1.png
(4.4)3
Uniform tiling 443-t12.png
3.6.4.6
Uniform tiling 443-t2.png
(3.4)4
Uniform tiling 443-t02.png
4.6.4.6
Uniform tiling 443-t012.png
6.8.8
Uniform tiling 443-snub.png
3.3.3.4.3.4
hiperbolična
(4 4 4)
Uniform dual tiling 444-t012.png Uniform tiling 444-t0.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t01.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t1.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t12.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t2.png
(4.4)4
Uniform tiling 444-t02.png
4.8.4.8
Uniform tiling 444-t012.png
8.8.8
Uniform tiling 444-snub.png
3.4.3.4.3.4

Sebi dualna tlakovanja[uredi | uredi kodo]

Tlakovanje je lahko tudi sebi dualno. Takšno je kvadratno tlakovanje s Schläflijevim simbolom {4,4}.

Self-dual square tiling.png
Kvadratno tlakovanje (črno) {4,4} s svojim dualnim tlakovanjem (rdeče).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]