Trikotniško kvadratno število

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Trikotniško kvadratno število je v matematiki število, ki je hkrati trikotniško in kvadratno število (popolni kvadrat). Obstaja neskončno mnogo trikotniških kvadratov. Ti so dani z enačbo:

 N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 .

k-ti trikotniški kvadrat Nk je enak s-temu kvadratnemu številu in t-jevemu trikotniškemu številu, tako da velja:

 s(N) = \sqrt{N} ,
 t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor.

t je dan z enačbo:

 t(N_k) = {1 \over 4} \left[ \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right] .

Trikotniška kvadratna števila lahko določimo tudi rekurzivno:


  N_{k}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    0;\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&k=0;\ \ \,\\
    1;\qquad\qquad\qquad\qquad\,&&k=1;\ \ \,\\
    34 \, N_{k-1} - N_{k-2} + 2;&&\mbox{sicer.}
   \end{matrix}
  \right.

Prva trikotniška kvadratna števila so (OEIS A001110):

(0), 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, ...

Ko se k veča, se razmerje t/s približuje kvadratnemu korenu od 2:

 \begin{matrix} N=1 & s=1 & t=1 & t/s=1
\\ N=36 & s=6 & t=8 & t/s = 1.3333333
\\ N=1225 & s=35 & t=49 & t/s = 1.4
\\ N=41616 & s=204 & t=288 & t/s = 1.4117647
\\ N=1,413,721 & s=1189 & t=1681 & t/s = 1.4137931
\\ N=48,024,900 & s=6930 & t=9800 & t/s = 1.4141414
\\ N=1,631,432,881 & s=40391 & t=57121 & t/s = 1.4142011
\end{matrix}

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]