Trikotna matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Trikotna matrika je posebna oblika matrik, ki imajo nad ali pod glavno diagonalo vse elemente enake 0. Trikotne matrike so kvadratne matrike, ker imajo enako število vrstic in stolpcev.

Matrika, ki ima obliko

 \mathbf{L}=
\begin{bmatrix}
l_{1,1} &         &        &           & 0  \\
l_{2,1} & l_{2,2} &        &           &    \\
l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots &           &    \\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \ddots    &    \\
l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n}
\end{bmatrix}

se imenuje spodnje trikotma matrika (tudi spodnja trikotna matrika) ali levo trikotna matrika (tudi leva trikotna matrika).

Podobno je z matriko z obliko

 \mathbf{U} =
\begin{bmatrix}
u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}  \\
        & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}  \\
        &         & \ddots  & \ddots & \vdots   \\
        &         &         & \ddots & u_{n-1,n}\\
  0     &         &         &        & u_{n,n}
\end{bmatrix}

ki se imenuje zgornje trikotma matrika (tudi zgornja trikotna matrika) ali desno trikotna matrika (tudi desna trikotna matrika).

Za zgornje trikotno matriko velja  u_{ij} = 0 \, za  i > j \,.

Za spodnje trikotno matriko pa  l_{ij} = 0 \, za  i < j \,.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Determinanta trikotne matrike je enaka zmnožku elementov na glavni diagonali.

Gaussova matrika[uredi | uredi kodo]

Posebna oblika trikotne matrike je Gaussova matrika, ki ima vse elemente, ki niso v diagonali enaki 0, razen v enem stolpcu. Takšna matrika se imenuje tudi atomska zgornja/spodnja trikotna ali Gaussova transformacijska matrika.

 \mathbf{L}_{i} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &        &           &        &         &     & 0 \\
     0 & \ddots &        &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &           &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &         1 &        &         &     &   \\
       &        &      0 & l_{i+1,i} &      1 &         &     &   \\
\vdots &        &      0 & l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &    \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix}.

Inverzna matrika je zopet Gaussova matrika

 \mathbf{L}_{i}^{-1} =
\begin{bmatrix}
     1 &        &        &            &        &         &     & 0 \\
     0 & \ddots &        &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      1 &            &        &         &     &   \\
     0 & \ddots &      0 &          1 &        &         &     &   \\
       &        &      0 & -l_{i+1,i} &      1 &         &     &   \\
\vdots &        &      0 & -l_{i+2,i} &      0 &  \ddots &     &   \\
       &        & \vdots &     \vdots & \vdots &  \ddots &   1 &   \\
     0 &  \dots &      0 &   -l_{n,i} &      0 &   \dots &   0 & 1 \\
\end{bmatrix},
.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]