Tavtohrona krivulja

Štiri točke se gibljejo po cikloidi s pričetkom v različnih položajih. Na dno prispejo istočasno. Modre puščice prikazujejo pospeške vzdolž krivulje. Na vrhu je diagram, ki prikazuje položaje točk v različnih časih.

Tavtohrona krivulja (tudi izohrona krivulja) iz grške besede (ταὐτό) tavto, kar pomeni isti in besede (χρόνος) chrono, kar pomeni čas oziroma iz besede iso, kar pomeni enak) je krivulja po kateri bi se moralo gibati telo (ki smo ga brez začetne hitrosti spustili), da bi brez trenja v enakomerni težnosti prišlo v najnižjo točko neodvisno od začetne točke. Krivulja, ki zadošča tem zahtevam, je cikloida.

Problem tavtohronosti

Problem tavtohronosti išče obliko krivulje po kateri bi se moralo gibati telo, da bi prišlo do najnižje točke v skladu z definicijo avtokrone krivulje.

Problem je prvi rešil nizozemski astronom, fizik in matematik Christiaan Huygens (1629 – 1695) v letu 1650. Ugotovil je, da je oblika krivulje enaka cikloidi (samo eni veji).

Problem tavtohronosti so pričeli intenzivneje proučevati, ko so so ugotovili, da nihalo, ki niha po krožni poti, ni izokrono. To pa pomeni, da bo ura na nihalo kazala različne čase v odvisnosti od tega kako daleč nihalo zaniha.

Cikloidno nihalo.

Pozneje sta matematika Joseph-Louis de Lagrange (1736 – 1813) in Leonhard Paul Euler (1707 – 1783) podala analitično rešitev problema.

Lagrangeova rešitev

Če bi parametrizirali lego delca z dolžino loka s(t) od najnižje točke je kinetična energija sorazmerna $\scriptstyle \dot{s}^2$. Potencialna energija pa je sorazmerna z $y(s) \,$. Da bi dobili izokrono krivuljo mara biti lagrangean enak lagrangeanu za preprosti harmonski oscilator. Višina krivulje mora biti enaka kvadratu dolžine loka. To pa lahko zapišemo kot

$y(s) = s^2 \,$.

Sorazmernostno konstanto lahko postavimo na 1, če prilagodimo enoto za dolžino. Diferencialna oblika je

$dy = 2s \,ds$

$dy^2 = 4s^2 \,ds^2 = 4y \,(dx^2 + dy^2) \,$.

Če eliminiramo s, dobimo diferencialno enačbo

${dx \over dy} = {\sqrt{1-4y}\over 2\sqrt{y}} \,$

Da dobimo rešitev moramo integrirati, kar nam da:

$x = \int \sqrt{1-4u^2} \, du$

kjer smo označili $\scriptstyle u=\sqrt{y}$.

To pa se lahko piše kot

$x= {1\over 2} u \sqrt{1-4u^2} + {1\over 4} \sin^{-1}(2u) \,$

$y= u^2 \,$.

Lahko se dokaže, da je to na nenavaden način parametrizirana oblika enačbe cikloide.

Zunanje povezave

• Problem tavtohronosti na MathWorld (v angleščini)
• Tavtohrona krivulja v Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (v francoščini)