Stopnja grafa

Graf z označenimi stopnjami v vozliščih. Prikazan je tudi graf s stopnjo 0.

Stopnja (tudi valenca grafa) (oznaka $\deg (v) \,$) vozlišča je v teoriji grafov število povezav, ki so vezane na vozlišče. Pri tem se zanke štejejo dvakrat. Stopnjo vozlišča označujemo z $deg(\nu) \,$.

Lema o rokovanju

Lema o rokovanju pravi, da je za graf $G(V, E) \,$ dvojno število povezav enako vsoti vseh stopenj vozlišč v grafu. To zapišemo kot

$\sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E|\, .$

kjer je

• $\deg(v) \,$ stopnja vozlišča $v \,$
• $|E| \,$ število povezav v grafu.

Neusmerjeni grafi

V neusmerjenih grafih je stopnja $\deg \,$ enaka v grafih brez večkratnih povezav enaka številu sosedov vozlišča, v grafih, ki pa vsebujejo večkratne povezave, pa je v vsakem vozlišču enaka vsoti števila večkratnih povezav, ki so povezane z vozliščem (so incidentne z vozliščem).

Usmerjeni grafi

Usmerjeni grafz vpisanimi stopnjami za vozlišča: (vhodna stopnja, izhodna stopnja).

V usmerjenem grafu ima vsaka povezava začetek in konec. Zaradi tega lahko za vsako vozlišče določimo vhodno stopnjo (oznaka oznaka $deg^{+}(x) \,$) in izhodno stopnjo (oznaka $deg^{+}(x) \,$. Če pa imamo graf z večkratnimi povezavami pa je:

• vhodna stopnja $deg^{-}(x) \,$ je v grafih brez večkratnih povezav enaka številu sosednjih vozlišč
• v grafih z večkratnimi povezavami je v vsakem vozlišču vhodna stopnja enaka vsoti števila vseh vstopajočih povezav.
• izhodna stopnja v grafih brez večkratnih povezav je enaka številu sosednjih vozlišč
• izhodna stopnja v grafih z večkratnimi povezavami je v vsakem vozlišču izhodna stopnja enaka vsoti števila vseh izstopajočih povezav.

Posebni primeri

Neusmerjeni graf , z listi, ki pripadajo vozliščem 4, 5, 6, 7, 10, 11 in 12

• Vozlišče, ki ima stopnjo enako 0, imenujemo izolirano vozlišče.
• Vozlišče, ki ima stopnjo 1, se imenuje list

Nekatere lastnosti

• Če ima vsako vozlišče grafa enako stopnjo, pravimo, da je graf k-regularni. V tem primeru pravimo tudi, da ima graf stopnjo k.
• Usmerjeni graf je psevdogozd, če in samo, če ima vsako vozlišče izhodno stopnjo največ 1. Funkcionalno graf je posebni primer psevdogozda, če ima vsako vozlišče izhodno stopnjo 1.
• Neusmerjeni povezani graf ima Eulerjevo pot, če in samo, če ima 0 ali 2 vozlišči z neparno stopnjo. Kadar ima nima vozlišč z neparno stopnjo je Eulerjeva pot Eulerjev krog.
• Po Brooksovem izreku je v vsakem povezanem neusmerjenem grafu z največjo stopnjo $\delta \,$, kromatično število grafa največ enako $\delta \,$ , razen, če je graf klika ali neparni cikel, v tem primeru pa je kromatično število enako $\delta + 1 \,$.
• Po izreku Vizinga ima vsak graf kromatično število enako $\delta + 1 \,$.
• k-degenerirani je graf v katerem ima vsak podgraf vozlišče s stopnjo največ $k \,$.

Zunanje povezave

• Osnove teorije grafov (v slovenščini)
• Uvod v teorijo grafov (v slovenščini)
• Stopnja (teorija grafov) – video (v angleščini)