Steinerjeva veriga

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Steinerjeva veriga dvanajstih črnih krožnic (n = 12). Krožnici v modri in rdeči barvi imenujemo zunanja in notranja krožnica (dani krožnici).

Steinerjeva veriga je množica n krožnic, ki so tangentne na dve krožnici, ki se ne sekata (glej sliko na desni). Pri tem je n končen. Vsaka krožnica v verigi je tangentna na prejšnjo in na naslednjo krožnico. V zaprtih Steinerjevih verigah sta tudi prva in zadnja (n-ta) krožnica druga na drugo tangentni. V odprtih Steinerjevih verigah tega ni.

Zunanja in notranja krožnica (dani krožnici) se ne sekata, čeprav v tem ni omejitve. Manjša krožnica lahko v celoti leži znotraj ali zunaj večje krožnice. Središča krožnic ležijo na elipsi (manjša krožnica leži znotraj večje) ali hiperboli (večja krožnica leži zunaj manjše).

Veriga se imenuje po švicarskem matematiku Jakobu Steinerju (1796 - 1863). Steiner jo je definiral v 19. stoletju. Odkril je tudi veliko njenih značilnosti.

Vrste tangentnosti[uredi | uredi kodo]

Zaprta, odprta in večciklična veriga[uredi | uredi kodo]

Naj bosta dani krožnici označeni z  \alpha in  \beta . Ti dve krožnici se dotikata n krožnic Stenerjeve verige. Vsaka krožnica Ck se dotika natančno štirih krožnic: to je krožnice  \alpha in  \beta ter še dveh sosednjih krožnic Ck -1 in Ck +1. Običajno so Steinerjeve verige zaprte, kar pomeni, da sta prva in zadnja krožnica tangentni druga na drugo. V nasprotju s tem, pa je odprta Steinerjeva veriga tista v kateri prva in zadnja krožnica nista tangentni druga na drugo. Večciklična pa je tista veriga, ki omogoča, da krožnice potekajo okoli po notranji krožnici večkrat preden postane veriga zaprta.

Oblike v kolobarju[uredi | uredi kodo]

Polmer krožnic Steinerjeve verige je ρ, polmer notranje je r in zunanje krožnice pa je R. Razdalja od središča notranje krožnice do središča Steinerjeve krožnice je r + ρ.

Najenostavnejša vrsta Steinerjeve verige je zaprta veriga v kateri je n krožnic enake velikosti, ki obdajajo včrtano krožnico s polmerom r. Veriga krožnic je obdana zs krožnico, ki ima polmer R. Dani včrtani in očrtani krožnici sta koncentrični. Steinerjeva veriga leži v kolobarju med njima. Zaradi simetrije je kot  2\theta med dvema središčema krožnic iz Steinerjeve verige enak 360º/n. Iz tega dobimo (glej sliko na desni strani)


\sin \theta = \frac{\rho}{r + \rho}

in


\rho = \frac{r \sin\theta}{1 - \sin\theta}

Iz tega dobimo kriterij za obstoj Steinerjeve verige za dani dve koncentrični krožnici. Zaprta Steinerjeva veriga z n krožnicami zahteva, da je razmerje R/r za dani krožnici enako


\frac{R}{r} = 1 + \frac{2 \sin\theta}{1 - \sin\theta} = \frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta} = \left[ \sec \theta + \tan \theta \right]^{2}
.


Značilnosti pri inverziji[uredi | uredi kodo]

Eliptična in hiperbolična geometrijska mesta središč[uredi | uredi kodo]

Če je možna vsaj ena zaprta Steinerjeva veriga za dani krožnici (rdeče in modro), potem je možnih neskončno veliko Steinerjevih verig, ki so povezane z vrtenjem. Njihove točke tangentnosti vedno padejo na krožnico (oranžno). Kadar je ena krožnica znotraj druge, padejo središča Steinerjeve verige na (črno) elipso (zeleno), v ostalih primerih so na hiperboli.

Konjugirane verige[uredi | uredi kodo]

Če ima Steinerjeva veriga parno število krožnic, potem poljubna dve diametralno nasprotni krožnici v verigi lahko vzamemo za dve dani krožnici nove verige, ki ji pripadajo originalne krožnice. Kadar ima originalna veriga n krožnic in m ovojev, in ima nova veriga p krožnic in q ovojev, potem velja


\frac{m}{n} + \frac{p}{q} = \frac{1}{2}
.

Posplošitev[uredi | uredi kodo]


Najenostavneša posplošitev Steinerjeve verige je v tem, da dovolimo, da se dani krožnici dotikata ali celo sekata. V prvem primeru dobimo Paposovo verigo, ki pa ima neskončno število krožnic.

Drugi primer posplošitve je Soddyjeva šesterka, ki je posplošitev Steinerjeve verige šestih krožnic. V Soddyjevi šesterki imamo šest sfer, ki se gibljejo vzdolž iste elipse. Ovojnica šesterki Soddyjeve šesterke je Dupinova ciklida, ki pa je inverzija torusa. V Soddyjevi šesterki šest sfer ni tangentnih na zunanjo in notranjo sfero, ampak tudi do ostalih dveh sfer, ki se nahajajo nad in pod ravnino središč šesterke.

Večkratni obroči so naslednja oblika posplošitve. Običajna Steinerjeva veriga se dobi z inverzijo kolobarne oblike verige tangentnih krožnic vezanih z dvema koncentričnima krožnicama. To lahko posplošimo tako, da naredimo inverzijo treh ali večih koncentričnih krožnic, ki vključujejo kolobarne verige tangentnih krožnic.

Hierarhične Steinerjeve verige predstavljajo naslednjo vrsto posplošitve. Kadar dve dani krožnici ležita v celoti druga v drugi, potem večja krožnica omejuje krožnice Steinerjeve verige. V hierarhični Steinerjevi verigi vsaka krožnica verige omejuje dano krožnico druge verige v njej. To lahko ponavljamo in dobimo fraktal.

Soddyjeva šesterka je trirazsežna analogija Steinerjeve verige.


Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]