Stefanova naloga

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Stefanova naloga [štéfanova nalóga/náloga] (tudi Stefanov problem [~ problém]) je v matematiki in njenih uporabah, še posebej pri faznih prehodih v snovi, posebni primer problema mejnih vrednosti za parcialno diferencialno enačbo, prilagojeno za primer v katerem se lahko fazna meja s časom premika. Klasična Stefanova naloga poskuša opisovati porazdelitev temperature v homogeni snovi med faznim prehodom, na primer prehajanje ledu v kapljevinsko vodo, z reševanjem enačbe za prevajanje toplote, kjer se določi začetna porazdelitev temperature po celotni snovi in delni robni pogoj, Stefanov pogoj, o nastajanju meje med dvema fazama. Ta nastajajoča meja je neznana (hiper)|ploskev, Stefanove naloge pa so primeri nalog s premično mejo.

Naloga se imenuje po Jožefu Stefanu, ki je okoli leta 1890 obravnaval splošni razred takšnih nalog v povezavi z nastankom ledu in faznima prehodoma izparevanjem in taljenjem kot difuzijskima pojavoma. O tem je med letoma 1889 in 1891 objavil šest člankov. Joseph Black je v vrsti poskusov z vodo in ledom na Univerzi v Glasgowu med letoma 1758 in 1762 pokazal, da faznega prehoda iz trdnine v kapljevino ne moremo kalorično pojasniti s samo občutno toploto, in je uvedel pojem latentne toplote.[1]

Fourier je v svojem delu La Théorie Analytique de la Chaleur, objavljenem leta 1822, podal potrebna fizikalna in matematična orodja za prevajanje toplote in podal zakon o prevajanju toplote:

 \vec\mathbf{j} = -\lambda \nabla T \!\, ,

kjer je \vec\mathbf{j} gostota toplotnega toka, λ toplotna prevodnost in ∇ T gradient temperature. Zamisel kako analitično vključiti latentno toploto v enačbe prevajanja toplote sta prva pojasnila Lamé in Clapeyron leta 1831.[1][2] Tudi Neumann je v zgodnjih 1860-tih rešil podobni primer v neobjavljenih predavanjih na Univerzi v Königsbergu. Lamé in Clapeyron sta poskusila določiti debelino trdninske plasti, tvorjene s kapljevino, ki napolnjuje polprostor x > 0 pod vplivom konstantne temperature v ravnini x = 0. Temperatura kapljevinske faze je na začetku povsod enaka kristalizacijski. Pokazala sta, da je debelina plasti sorazmerna s kvadratnim korenom časa, nista pa določila sorazmernostnega koeficienta.[2]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Ayasoufi (2004), str. 10.
  2. ^ 2,0 2,1 Rubinštejn (1994), str. 1.

Viri[uredi | uredi kodo]

  • Stefan, Jožef (1889). "O teoriji nastanka ledu, posebno še o nastanku ledu v polarnem morju (Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Eismeere)". Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien (SAW) 98 (II a): 965–983.  Tudi Monatshefte der Mathematik und Physik, zvezek 1, str. 1-5, 1890; in WA 42, str. 625, 1891.