Stefan-Boltzmannov zakon

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Stefan-Boltzmannov zákon (tudi Stefanov zákon) [štéfan-bólcmanov ~] o sevanju črnega telesa je v fiziki zakon, po katerem je gostota energijskega toka j*, ki ga seva črno telo, sorazmerna četrti potenci njegove termodinamične temperature T:

 j^{\star} = \sigma T^{4} \!\, .

Sorazmernostna fizikalna konstanta σ = 5,670 373(21) · 10−8 W m−2 K−4 je znana kot Stefanova konstanta ali Stefan-Boltzmannova konstanta. Zakon je leta 1879 odkril slovenski fizik Jožef Stefan (1835-1893), leta 1884 pa ga je njegov učenec, avstrijski fizik Ludwig Edward Boltzmann (1844-1906) tudi teoretično izpeljal v okviru termodinamike.[1][2] Boltzman je upošteval drugi zakon termodinamike, kinetično teorijo plinov in obravnaval idealni reverzibilno delujoč toplotni stroj s svetlobnim sevanjem kot delovno snovjo namesto plina.[3] To sevanje naj bi izvajalo tlak na stene posode. To je edini fizikalni zakon, imenovan po kakšnem slovenskem fiziku.[4]:24

Danes ga lahko izpeljemo iz Planckovega zakona:

 j^{\star} = \int_{0}^{\infty} \left( {\mathrm{d}j^{\star}\over \mathrm{d}\lambda} \right) \mathrm{d}\lambda = \pi \int_{0}^{\infty} B_{\lambda} \, \mathrm{d}\lambda \!\,

in velja samo za idealna črna telesa.

Splošna oblika[uredi | uredi kodo]

V splošnem ima zakon obliko:

 j^{\star} = \varepsilon\sigma T^{4} \!\, ,

kjer je \varepsilon = 1 izsevnost za idealno črno telo. Za siva telesa, za katera je odbojnost a neodvisna od valovne dolžine, ima zakon obliko:

 j^{\star}_{\rm s} = (1 - a) \sigma T^{4} = (1 - a) j^{\star}_{0} \!\, .

Če pa je odbojnost odvisna od valovne dolžine a(\lambda), velja Kirchhoffov zakon sevanja:

 \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d} \lambda} = [1 - a(\lambda)] \left( \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d} \lambda} \right)_{0} \!\, ,

oziroma:

 j^{\star}_{\rm s} = \varepsilon (T) \sigma T^{4} \!\, .

V tehniki splošni Stefan-Boltzmannov zakon običajno zapišejo v obliki:

 j^{\star} = \varepsilon_{n} C_{\rm c} \left( \frac{T}{100} \right)^{4} \!\, ,

predvsem zaradi lažjega računanja, kjer je \varepsilon_{n} izsevnost v smeri pravokotno na površino. Izsevnost za sevanje v polprostor, za gladka kovinska, gladka in hrapava telesa je:

\varepsilon \approx 1,20 \varepsilon_{n} \!\, ,
\varepsilon \approx 0,95 \varepsilon_{n} \!\, ,
\varepsilon \approx 0,98 \varepsilon_{n} \!\, .

Barva površine ne vpliva na izsevnost. Bele površine močno sevajo. Majhno izsevnost imajo v glavnem gladke snovi kot sta aluminij in bron. Steklo prepušča kratkovalovno svetlobo, ne prepušča pa dolgovalovnega toplotnega sevanja.

Z razliko od trdnih teles, ki sevajo in absorbirajo s površine, je stopnja absorpcije pri plinih odvisna od debeline plinske plasti, in poteka po celotni prostornini (absorpcijski zakon):

 \varepsilon = 1 - \frac{1}{e^{-\mu x}} \!\, ,

kjer je x dolžina poti sevanja skozi plin in \mu absorpcijski koeficient. Enoatomni in večina dvoatomnih plinov se lahko v tehničnih preračunih obravnavajo kot diatermne snovi. Tehnično je pomembno sevanje ogljikovega dioksida in vodne pare, ki sevata in absorbirata v širših pasovih valovnih dolžin spektra. Nad 600 °C je oddajanje toplote teh plinov lahko veliko, pri še višjih temperaturah je lahko izdatnejše od prestopa toplote.

Odkritje[uredi | uredi kodo]

Stefan je zakon objavil 20. marca v članku O odnosu med toplotnim ravnovesjem in temperaturo (Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur) v Poročilih z zasedanj dunajske Akademije znanosti.[1] Iz razprave je razvidna njegova pot do odkritja zakona. Rokopis povzetka članka je vseboval štiri strani formata A4, rokopis celotnega članka je bil dolg 61 strani, tiskan članek pa je imel 38 strani.[4]:28

Draper je leta 1847 poskušal ugotoviti pri kateri temperaturi začne segreto telo sevati. Tega ni ugotovil, ugotovil pa je, da narašča gostota izsevanega energijskega toka mnogo hitreje kot premosorazmerno s temperaturo. Stefan je leta 1878 bral Draperjevo razpravo o sevalni energiji.[5] Leta 1848 je Kelvin uvedel absolutno temperaturno lestvico. Tudi Stefan je v svojem zakonu uporabil absolutno temperaturo.[6] Kirchoff je leta 1859 podal zakon o toplotnem sevanju in ga leta 1861 dokazal. Leta 1862 je skoval izraz sevanje »črnega telesa«. Primerjal je sevanje črnih in drugih sevajočih teles. Nakazal je tudi, kako bi se dalo uresničiti takšno sevanje.[3]

Tyndall je leta 1864 raziskoval »nevidno« infrardečo svetlobo. Infrardeče valovanje je odkril William Herschel in odkritje objavil leta 1800. Uporabil je prizmo in z njo lomil sončno svetlobo. S termometrom je izmeril porast temperature za rdečim delom svetlobnega spektra. Imenoval jo je toplotni žarki. Izraz infrardeča svetloba se je pojavil v poznem 19. stoletju. Seebeck je leta 1821 odkril termoelektrični pojav. Melloni je kmalu zatem leta 1835 izdelal prvo termoelektrično baterijo in odkril toplotno sevanje. Za novo sevanje so ugotovili, da gre za človeškemu očesu nevidno svetlobo, oziroma za elektromagnetno valovanje z malo večjo valovno dolžino od rdeče vidne svetlobe.

Leta 1840 je John Herschel posnel prvo infrardečo sliko. Tyndall je z električnim tokom segrel žarnico, v kateri je tedaj običajno ogleno nitko nadomestil s platinasto žičko. Žička je zažarela. Ko je električni tok naraščal, je naraščala temperatura žičke in je sevala vedno več svetlobe. Svetlobo je zajel z lečo in s prizmo iz kamene soli razklonil svetlobo, ki jo je sevala žička, na mavrični spekter. Na mesto za rdečim delom je postavil baterijo zaporedno vezanih termoparov.[7][8] Spojna mesta, v katerih je imel tok smer iz ene kovine v drugo, je združil na zunanji strani merilnika in jih počrnil. Spojna mesta, kjer je imel tok obratno smer, je skril v ohišje merilnika. Prva spojna mesta so absorbirala vpadno svetlobo in se segrela, druga pa so imela temperaturo okolice. Z občutljivim galvanometrom je meril tok.[9] Tyndall je želel dobiti le približen pregled in temperature žičke ni meril. Navedel je le barvo izsevane svetlobe. Za šibko rdečo je bil odklon galvanometra 10,4° in za belo 60°. V letu 1864 je objavil razpravo O vidnem in nevidnem sevanju, kjer je poskušal odgovoriti, kako je sevanje rdeče svetlobe odvisno od temperature. Nemški prevod je izšel leta 1865 in prebral ga je Wülner.[10] V drugo in tretjo izdajo svojega učbenika termodinamike Nauk o toploti s stališča mehanične teorije toplote je vključil Tyndallove podatke. Barvam je priredil temperature. Čeprav se je skliceval na Draperjeva merjenja, je ravnal samovoljno. Wülnerjevo knjigo je dobil v roke Stefan, spremenil temperaturi v absolutni in upošteval popravljeni odklon galvanometra za belo, za katerega je že Tyndall omenil, da je treba vzeti dvakratno vrednost 122°. Šibka rdeča barva žičke je tako imela temperaturo 798 K (525 °C), bela pa 1473 K (1200 °C). Pri tem je Stefan privzel, da je bila gostota izsevanega energijskega toka sorazmerna z odklonom galvanometra. Zvezo med absolutno temperaturo žičke T in gostoto izsevanega energijskega toka j je poskusil zapisati kot potenčni zakon:

 j = \sigma T^{n} \!\, .

Iz obeh parov podatkov je ugotovil razmerji energijskih tokov 122/10,4 = 11,731. Vrednosti se je dokaj točno približal, če je razmerje ustreznih absolutnih temperatur 1473/798 = 1,846 potenciral s četrto potenco: 1,846^{4} = 11,613, tako da je n = 4. Vrednosti je preveril na Dulongovih in Petitovih podatkih in pri tem odštel prispevek prevajanja toplote. Nov zakon se je starim podatkom dobro prilegal. Konstanta σ, ki izhaja iz njegovih meritev, se lahko zapiše z današnjimi enotami:

 \sigma = 5,056 \cdot 10^{-8} \ \mathrm{W/(m^{2}\, K^{4})} \!\, . [5]

Njegova meritev je bila dokaj točna in za 10,8 % premajhna od današnje izmerjene vrednosti. Zakon je preveril tudi za podatke de la Provostayea in Desainsa (1846), Draperja in Ericssona (1872)[11].

Bartoli je leta 1876 neodvisno od Maxwella izpeljal enačbo za sevalni tlak elektromagnetnega valovanja po termodinamični poti. Ugotovil je, da je mogoče z gibajočim se zrcalom ob dovajanju dela prenesti toploto s hladnejšega mesta na toplejše. Zamislil si je reverzibilno neskončno majhno Carnotovo krožno spremembo, kjer se entropija ne spremeni, dovedeno absolutno delo pa je vezano na tlak svetlobe na zrcalo. Da velja drugi zakon termodinamike, mora svetloba prenašati tlak na zrcalo. Tako so sevalni tlak imenovali tudi »Maxwell-Bartolijev tlak«.

Crova je leta 1880 objavil diagram trirazsežnega prikaza grafa jakosti toplotnega sevanja kot funkcije valovne dolžine in temperature.[12]

Bartolijeve knjižice O gibanjih, ki jih povzroča toplota, in o Crookesovem radiometru ni nihče opazil. Nazadnje jo je opazil Boltzmann in povzel Bartolijevo misel, da drugi zakon termodinamike zahteva sevalni tlak, ter osem let kasneje izpeljal zakon po termodinamični poti.[2] Bartoli je bil blizu Stefan-Boltzmannovega zakona, ni pa upošteval temperaturne odvisnosti gostote energijskega toka sevajočega črnega telesa. Povzetke knjižice je objavil leta 1884 in 1885.[13][14]

Izpeljava[uredi | uredi kodo]

Izpeljava iz Planckovega zakona[uredi | uredi kodo]

Spektralno gostoto črnega telesa v odvisnosti od valovne dolžine \lambda podaja Planckov zakon:

 \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{ d\lambda} = \pi B_{\lambda} = \frac{2 \pi h c_{0}^{2} }{\lambda^5} \, \frac{1}{e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)} - 1} \!\, ,

kjer je h Planckova konstanta, c_{0} hitrost svetlobe v vakuumu k_{\rm B} Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura.

Gostota svetlobnega toka je dana z integralom po vseh valovnih dolžinah:[15][16]

 j^{\star} = \int_{0}^{\infty} \left( \frac{\mathrm{d}j^{\star}}{\mathrm{d}\lambda} \right) \mathrm{d}\lambda = \pi \int_{0}^{\infty} B_{\lambda} \, \mathrm{d}\lambda = 2 \pi h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^5(e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)} - 1)} \mathrm{d}\lambda \!\, .

Z uvedbo nove spremenljivke u:

 u = \frac{hc_{0}}{\lambda k_{\rm B} T} \!\, ,

kjer velja:

 \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} \lambda} = - \frac{hc_{0}}{\lambda^{2} k_{\rm B} T } \!\, ,

preide integral v:

 j^{\star} = \frac{2 \pi k_{\rm B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \, \frac{u^{3}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u \!\, .

Integral lahko najprej izračunamo za splošnejši primer:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u \!\, ,

ali:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n} e^{-u}}{1 - e^{-u}} \mathrm{d}u \!\, .

Ker je imenovalec vedno manjši od 1, ga lahko razvijemo po potencah e^{-u}, da dobimo konvergentno vrsto:

 \frac{1}{1 - e^{-u}} = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-ku} \!\, .

V osnovi vzamemo enačbo za vsoto geometrične vrste. Ulomek na levi je izraz za vrsto, ki ga označuje vsota:

 1 + e^{-u} + e^{-2u} + e^{-3u} + \cdots \!\, .

Skupni množitelj je e^{-u}. Nato vrsto vstavimo v integral:

 \int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u} \sum_{k=0}^{\infty} e^{-ku} \mathrm{d}u \!\, .

Množenje z e^{-u} na levi premakne vsoto vrste za eno mesto na desno, tako da:

 e^{-u} + e^{-2u} + e^{-3u} + \cdots \!\,

postane:

 e^{-2u} + e^{-3u} + e^{-4u} + \cdots \!\, .

Zato dvignemo indeks v vsoti za eno in zavržemo e^{-u}:

 \int_{0}^{\infty} u^{n} \sum_{k=1}^{\infty} e^{-ku} \mathrm{d}u \!\, .

Uvedemo novo spremenljivko w:

 w = ku \!\, ,

tako da je:

 u^{n} = \frac{w^{n}}{k^{n}} \!\,

in:

 \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} u} = k \!\, ,

integral pa preide v:

 \int_{0}^{\infty} \frac{w^{n}}{k^{n}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} e^{-w} \mathrm{d} w \!\, ,

oziroma:

 \int_{0}^{\infty} w^{n} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n+1}} e^{-w} \mathrm{d} w \!\, .

Ker vsak člen v vsoti predstavlja konvergentni integral, lahko vsoto postavimo iz integrala:

 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{n+1}} \int_{0}^{\infty} w^{n} e^{-w} \mathrm{d} w \!\, .

Integral na desni je funkcija Γ, \Gamma (n+1), vsota na levi pa Riemannova funkcija ζ, \zeta (n+1). Tako ima končno zgornji integral vrednost:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = \Gamma (n+1) \zeta (n+1) \!\, ,

oziroma enakovredno:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{n-1}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = \Gamma (n) \zeta (n) \!\, .

Za cela števila velja:

 \Gamma (n) = (n - 1)! \!\,

in od tod:

 \Gamma (4) = (3)! = 6 \!\, .
Graf odvisnosti gostote energijskega toka j^{\star} od termodinamične temperature T\,. V turkizni barvi je gostota energijskega toka po Wienovem približku

Za soda cela števila velja:

 \zeta(n)=\frac{2^{n-1}|B_{n}|\pi^{n}}{n!} \!\, ,

kjer je B_{n} Bernoullijevo število, in velja:

 B_{4} = -\frac{1}{30} \!\, ,

tako da je:

 \zeta(4)=\frac{2^{3}\pi^{4}}{30 \cdot 4!} = \frac{\pi^{4}}{90} \!\, ,

analitična vrednost integrala pa:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{4-1}}{e^{u} - 1} \mathrm{d}u = 6 \,\mathrm{Li}_4(1) = 6 \, \zeta(4) = 6 \cdot \frac{\pi^{4}}{90} = \frac{\pi^{4}}{15} \!\, ,

kjer je \mathrm{Li}_{s}(z) polilogaritem.

Gostota svetlobnega toka je končno:

 j^{\star} = \frac{2 \pi k_{\rm B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}}  \frac{\pi^{4}}{15} \!\,

in Stefan-Boltzmannov zakon:

 j^{\star} = \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{a}{b^{4}} \Gamma(4) \zeta(4) T^{4} = \frac{a_{1} a}{a_{0}} T^{4} = \sigma T^{4} \!\, ,

s konstantami:

 a = \frac{2\pi h}{c_{0}^{2}} = \frac{a_{0}c_{0}}{4} \!\, , \qquad 
         b = \frac{h}{k_{\rm B}} \!\, , \qquad  
         a_{0} = \frac{8\pi h}{c_{0}^{3}} = \frac{4a}{c_{0}} \!\,

in sevalno konstanto:

 a_{1} = \frac{a_{0}}{a} \sigma = \frac{4\sigma}{c_{0}} = \frac{8\pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15h^{3}c_{0}^{3}} \!\, .

Termodinamična izpeljava[uredi | uredi kodo]

Iz klasične elektrodinamike sledi, da je sevalni tlak p povezan z notranjo gostoto energije w:

 p = \frac{1}{3} w \!\, .

Skupno notranjo energijo U za prostornino V, ki vsebuje elektromagnetno sevanje, lahko zapišemo kot:

 U = 3 pV \!\, .

Po prvem in drugem zakonu termodinamike je sprememba notranje energije:

 \mathrm{d}U = T \mathrm{d}S - p \mathrm{d}V \!\, ,

kjer sledi:

 T \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_{T} = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} + p \!\, .

Po Maxwellovi termodinamični enačbi:

 \left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T =
+\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V = -
\frac{\partial^2 F }{\partial T \partial V} \!\,

lahko zapišemo:

 T \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_{V} = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} + p \!\, .

Ker je sevalni tlak sorazmeren z notranjo gostoto energije, je odvisen le od temperature in ne od prostornine. Tako velja:

 \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} T} = \frac{1}{3} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} T} \!\,

in:

 \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_{T} = 3p = w \!\, ,

tako da je:

 T \frac{1}{3} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} T} = w + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} w \!\, .

Po ureditvi spremenljivk:

 \frac{\mathrm{d} w}{w} = 4 \frac{\mathrm{d} T}{T} \!\,

in integraciji je:

 \ln w = 4 \ln T + \, \mathrm{konst.} \!\,

Gostota energijskega toka in Stefan-Boltzmannov zakon sta nazadnje:

 j^{\star} = w c_{0} = c_{0} e^{\mathrm{konst.}} T^{4} = \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \sigma T^{4} \!\, ,

kjer je Stefanova konstanta, izražena z drugimi osnovnimi konstantami, vzeta iz prejšnje izpeljave, saj Planckove konstante h klasična elektrodinamika ne pozna. Ta izpeljava da aditivno konstanto:

 \mathrm{konst.} = \ln \frac{2 \pi^{5} k_{\rm B}^{4}}{15 h^{3} c_{0}^{3}} = -36,204022 \, \ln\left[ \mathrm{J/(m^{3} \, K^{4}) } \right] \!\, .

n-razsežni prostor[uredi | uredi kodo]

Sevalni tlak v n-razsežnem prostoru je enak:

 p = \frac{1}{n} w \!\, ,

tako da velja:

 T \, \mathrm{d} S = (n+1)p \, \mathrm{d} V + n V \, \mathrm{d} p \!\,

Iz zveze:

 \frac{1}{p}\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} T}=\frac{(n+1)}{T} \!\,

sledi:

 p \propto T^{n+1} \!\,

ali:

 w \propto T^{n+1} \!\, ,

kar da:

 \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} \propto T^{n+1} \!\, .

Enak rezultat dobimo z integralom nad frekvenco v Planckovem zakonu za n-razsežni prostor, sicer z različno vrednostjo Stefanove konstante za vsako razsežnost. V splošnem je konstanta enaka:

 \sigma=\frac{1}{m(n)} \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(1+\frac{n}{2})} \frac{n(n-1)}{h^{n}} \frac{1}{c_{0}^{n-1}} k_{\rm B}^{n+1} \Gamma(n+1) \zeta(n+1) \!\, ,

kjer je m(n) določena funkcija n, z vrednostjo m(3)=4.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Temperatura Sončeve površine[uredi | uredi kodo]

S svojim zakonom je Stefan določil tudi temperaturo Sončeve površine. Oprl se je na Soretov podatek, da je gostota energijskega toka Sonca na Zemlji 29-krat večja od gostote energijskega toka segrete kovinske ploščice. Soret je meril gostoto energijskega toka na Mont Blancu. Stefan je okroglo ploščico postavil na takšno razdaljo od merilnika, da bi bila videti pod istim kotom kot Sonce. Soret je ocenil temperaturo ploščice približno 1900 °C do 2000 °C. Stefan je domneval, da 1/3 energijskega toka Sonca zadrži Zemljino ozračje. Zato je vzel za pravilen Sončev energijski tok 3/2 večjo vrednost, 29 · 3/2 = 43,5. Točne meritve absorpcije ozračja so izvedli šele leta 1888 in 1904. Za temperaturo je Stefan vzel srednjo vrednost prejšnjih dveh 1950 °C in za absolutno termodinamično 2200 K. Ker je 2,574 = 43,5, iz zakona sledi, da je temperatura Sonca 2,57-krat večja kot temperatura ploščice. Tako je Stefan dobil vrednost 5430 °C ali 5700 K. To je bila prva smiselna vrednost za temperaturo Sonca.

Pred njim so navajali vrednosti od 1800 °C do 13.000.000 °C. Waterson leta 1861 in Rosetti leta 1878 sta navedla preveliki vrednosti. Newton je določil jakost Sončevega sevanja z opazovanjem naraščanja temperature suhe zemlje na sončni svetlobi. Sredi poletja ob jasnem vremenu na zemljepisni širini Londona suha zemlja ob poldnevu doseže 65,6 °C (150 °F) in 29,4 °C (85 °F), tako da je razlika približno 36,2 °C (65 °F). To razliko je imel Newton za pravi pokazatelj jakosti Sončevega sevanja. Na ta način je pokazal, da je bil komet iz leta 1680 izpostavljen temperaturi 7000-krat večji od vrelišča vode (212 · 7000 = 1.484.000 °F (824.663 K)). Komet je bil v prisončju na razdalji 1/3 Sončevega polmera od Sončeve površine. Zaradi disperzije žarkov skozi Sončevo atmosfero in na ustrezni razdalji je Ericsson od tod navedel temperaturo Sončeve fotosfere vsaj 2.640.000 °F (1.466.921 K).[17] Leto kasneje 1872 je Ericsson navedel 4.036.000 °F (2.242.477 K).[11]

Prvo vrednost 1800 °C (med 1461 in 1761 °C) je določil Pouillet leta 1838 z Dulong-Petitovim zakonom.[9][11] Pouillet je za energijski tok Sonca vzel za polovico premajhno vrednost. Verjetno je ta rezultat opomnil Stefana, da bi Dulong-Petitov zakon odpovedal pri velikih temperaturah. Če zberemo Sončevo svetlobo z lečo, lahko segrejemo telo na višjo temperaturo kot samo na 1800 °C.

Izseva Sonca na njegovi površini in površju Zemlje sta enaka:

 L = L_{\odot} \!\, ,
 jS_{\odot} = j_{\odot} S \!\, ,
 \sigma T_{\odot}^{4} 4\pi r_{\odot}^{2} = j_{\odot} 4\pi a_{0}^{2} \!\, ,

tako da je današnja izračunana vrednost:

 
 T_{\odot} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot} 4 \pi a_{0}^{2}}{\sigma 4 \pi r_{\odot}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot} a_{0}^{2}}{\sigma r_{\odot}^{2}}} = \sqrt[4]{\frac{1366 \cdot 149597870691^{2}}{5{,}670400 \cdot 10^{-8} \, \cdot \, (6{,}960 \cdot 10^{8})^{2}}} = 5775,9 \ \mathrm{K} \!\, ,

kjer je j_{\odot} = 1366 W/m2 srednja vrednost solarne konstante (gostote svetlobnega toka s Sonca na zunanjem robu Zemljinega ozračja), a_{0} astronomska enota, r_{\odot} Sončev polmer in L_{\odot} Sončev izsev.

Temperatura zvezd[uredi | uredi kodo]

Temperaturo drugih zvezd se lahko določi na podoben način z obravnavo oddane energije kot sevanjem črnega telesa.[18] Izsev zvezde L je:

 L = jS= 4 \pi r^{2} \sigma T_{\rm e}^{4} \!\, ,

r polmer zvezde in T_{\rm e} efektivna temperatura. Z isto enačbo lahko izračunamo približni polmer zvezde iz glavnega niza glede na Sonce:

 \frac{r}{r_{\odot}} \approx \left ( \frac{T_{\odot}}{T} \right )^{2} \sqrt{\frac{L}{L_{\odot}}} \!\, .

S Stefan-Boltzmannovim zakonom lahko astronomi preprosto izračunajo polmer zvezde.

Hawkingovo sevanje[uredi | uredi kodo]

Zakon se pojavi tudi v termodinamiki črnih lukenj v Hawkingovem sevanju. Temperatura Hawkingovega sevanja je:

 T_{\rm H} = \frac{\hbar c_{0}^{3}}{8 \pi \kappa m k_{\rm B}} \!\, .

Površina Schwarzschildove sfere s Schwarzschildovim polmerom r_{\rm s} je:

 S_{\rm s} = 4 \pi r_{\rm s}^{2} = 4 \pi \left( \frac{2 \kappa m}{c_{0}^{2}} \right)^{2} = \frac{16 \pi \kappa^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}} \!\, .

Izsev črne luknje je tako (pri \varepsilon=1):

 L = \varepsilon j S_{\rm s} = \varepsilon \sigma T_{\rm H}^{4} S_{\rm s} = \varepsilon \left( \frac{\pi^{2} k_{\rm B}^{4}}{60 \hbar^{3} c_{0}^{2}} \right) \left( \frac{\hbar c_{0}^{3}}{8 \pi \kappa m k_{\rm B}} \right)^{4} \left( \frac{16 \pi \kappa^{2} m^{2}}{c_{0}^{4}} \right) = \frac{\hbar c_{0}^{6}}{15360 \pi \kappa^{2} m^{2}} \!\, ,

kjer je \hbar reducirana Planckova konstanta, c_{0} hitrost svetlobe in \kappa Newtonova splošna gravitacijska konstanta. Te enačbe še niso izpeljali v okviru polklasične teorije gravitacije.

Temperatura Zemljinega površja[uredi | uredi kodo]

Podobno lahko izračunamo efektivno temperaturo Zemljinega površja T_{\rm Z} z določitvijo energije, prejete s Sonca, in energije, oddane z Zemlje, kjer si mislimo, da sta obe telesi idealno črni:

 T_{{\rm Z},0} = T_{\odot} \sqrt{\frac{r_{\odot}}{2 a_{0}}} = 5776 \cdot \sqrt{\frac{6,96 \cdot 10^{8}}{2 \cdot 149597870691}} \approx 279 \; {\rm K} \!\, .

Efektivna temperatura na Zemljinem površju je tako 6 °C.

Zgornji račun je grobi približek, ker je privzeto, da je Zemlja črno telo. Enako vrednost bi imela ravnovesna planetarna temperatura, če bi izsevnost in absorptivnost planeta bili zmanjšani za določeno konstantno razmerje pri vseh valovnih dolžinah, ker bi bile prihajajoče in odhajajoče vrednosti še vedno enake pri enaki temperaturi. Ta temperatura pa se ne bi več skladala z opredelitvijo efektivne temperature. Enak rezultat dobimo, če vzamemo, da je celotna Zemlja sivo telo:

 (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \varepsilon \sigma T^{4}_{{\rm Z},0} \!\, ,

kjer sta odbojnost in izsevnost enaki, tako da velja zveza:

 a + \varepsilon = 1 \!\,

in je:

 T_{{\rm Z},0} = \sqrt[4]{\frac{j_{\odot}}{4\sigma}} = T_{\odot} \sqrt{ \frac{r_{\odot}}{ 2 a_{0}} } \!\, .

V resnici Zemlja nima značilnosti sivega telesa. Zemljina odbojnost je takšna, da se približno 30 % vpadnega Sončevega sevanja odbije nazaj v vesoljski prostor. Od tega je 4 % odbitega sevanja na površju, 20 % z oblakov in 6 % sipanega v zraku. Če upoštevamo zmanjšano energijo s Sonca in izračunamo temperaturo črnega sevala, ki bi oddajalo toliko energije nazaj v prostor, dobimo »efektivno temperaturo«, ki je v skladu s takšno predstavo, približno 255 K.[19]

 (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \sigma T^{4}_{{\rm Z},1} \!\, ,

kjer je izsevnost:

\varepsilon = 1 \!\,

in je:

 T_{{\rm Z},1} = \sqrt[4]{\frac{(1-a)j_{\odot}}{4 \sigma} } = \sqrt[4]{\frac{(1-0,3)\cdot 1366}{4 \cdot 5{,}670400 \cdot 10^{-8}} } \approx 255 \; {\rm K} \!\, .

Če primerjamo s 30 % odbojem Sončeve energije, se s površja Zemlje v ozračju absorbira ali odbije večja količina sevanja z višjimi valovnimi dolžinami in se ne odda naprej zaradi toplogrednih plinov, predvsem: vodne pare, ogljikovega dioksida in metana.[20][21] Ker se izsevnost (izmerjena pri večjih valovnih dolžinah, kjer seva Zemlja) zmanjša bolj kot absorptivnost (izmerjena pri manjših valovnih dolžinah Sončevega sevanja), je ravnovesna temperatura višja kot pokaže preprost račun s približkom črnega telesa, in ne nižja. Zemljina dejanska povprečna površinska temperatura je približno 288 K in ne 279 K. Globalno segrevanje povečuje to ravnovesno temperaturo zaradi človeških vplivov na toplogredne pline. Od leta 1880, ko naj bi bila skupna ravnovesna temperatura 13,6 °C, se je ta dvignila za 0,7 °C na 14,3 °C, gostota energijskega toka globalnega segrevanja pa je 0,02 Wm-2.[22]

Sevalno ravnovesno stanje Zemlje podaja preprost ničrasežni model:

 (1-a)j_{\odot} \pi r_{\rm Z}^{2} = 4 \pi r_{\rm Z}^{2} \varepsilon \sigma T^{4}_{{\rm Z},2} \!\, ,

kjer sta a = 0,3 povprečna odbojnost Zemlje in \varepsilon = 0,612 efektivna izsevnost Zemlje. Leva stran predstavlja prihajajočo energijo Sonca, desna pa odhajajočo energijo z Zemlje po Stefan-Boltzmannovem zakonu. Od tod sledi:

 T_{{\rm Z},2} = \sqrt[4]{\frac{(1-a)j_{\odot}}{4\varepsilon \sigma} } = \sqrt[4]{\frac{(1-0,3)\cdot 1366}{4 \cdot 0,612 \cdot 5{,}670400 \cdot 10^{-8}} } \approx 288 \; {\rm K} \!\, .

Enak rezultat dobimo, če vzamemo, da je Zemljino ozračje sivo telo in upoštevamo njegovo izsevnost \varepsilon_{o}:

 T_{{\rm Z},2} = T_{{\rm Z},1} \sqrt[4]{\frac{2}{2 - \varepsilon_{o}} } = T_{{\rm Z},1} \sqrt[4]{\frac{1}{\varepsilon} } = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{2}{2 - 0,776} } = 255 \cdot \sqrt[4]{\frac{1}{0,612} } \approx 288 \; {\rm K} \!\, .

Sončevo sevanje se odbija po valovnih dolžinah različno. Na robu ozračja je odbojnost v infrardečem enaka 0,8, na površju pa v vidnem 0,2.

Gostote svetlobnega toka črnih teles[uredi | uredi kodo]

Razpredelnica podaja gostote izsevanega svetlobnega toka nekaterih idealiziranih črnih teles, oziroma stanj.

T
[ K ]
\vartheta
[ °C ]
telo/stanje j^{\star}
[ W/m2 ]
118,9 · 10-16 Hawkingovo sevanje črne luknje s Sončevo maso 113,2 · 10-83
0,0648 -272,935 svetlobni tok, ki ga še zazna človeško oko 10−12[23]
2,7 -270,45 kozmično mikrovalovno prasevanje ozadja 3,013 · 10−6
14,01 -259,14 tališče vezanega vodika 0,00218
184 -89 najnižja izmerjena temperatura na Zemlji (1983) 65,0
273,15 0 led 315,0
288 15 povprečna temperatura na Zemlji 390,1
298 25 sobna temperatura 447,2
309,8 36,8 povprečna temperatura človeškega telesa 522,3
331 58 najvišja izmerjena temperatura na Zemlji (1922) 680,7
394 121 Sončev izsev na robu ozračja 1366
503 230 vroče varilno jeklo 3629,8
773 500 vroča grelna naprava 20.245,6
1273 1000 rumeni plamen 148.911,2
1941 1668 staljeni titan 804.851,7
2041,4 1768,4 staljena platina 984.750,3
2773 2500 žička svetilke 3.352.842,9
5776 Sončeva fotosfera 63.113.529,9
25.000 srednja temperatura Vesolja 10.000 let po prapoku 22.150.001.850
15,7 · 106 Sončevo jedro 3,445183366 · 1021
10 · 109 izbruh supernove 567,0400475 · 1030
140 · 1030 * Planckova temperatura mikročrne luknje
* temperatura Vesolja 500 · 10−42 s po prapoku
217,8341047 · 10123

Gostota energijskega toka Wienovega približka[uredi | uredi kodo]

Gostota energijskega toka Wienovega približka je:

 j^{\star}_{\rm W} = 2 \pi h c_{0}^{2} \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{5} e^{hc_{0}/ (\lambda k_{\rm B} T)}} \mathrm{d}\lambda \!\, .

Z enako spremenljivko u kot zgoraj preide integral v:

 j^{\star}_{\rm W} = \frac{2 \pi k_{\rm B}^{4} T^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} \int_{0}^{\infty} \, \frac{u^{3}}{e^{u}} \mathrm{d}u \!\, .

in je vrednost integrala:

 \int_{0}^{\infty} \frac{u^{3}}{e^{u}} \mathrm{d}u = 6 \!\, ,

tako da je gostota energijskega toka:

 j^{\star}_{\rm W} = \frac{12 \pi k_{\rm B}^{4}}{h^{3} c_{0}^{2}} T^{4} = \frac{90}{\pi^{4}} j^{\star} = \frac{1}{\zeta(4)} \sigma T^{4} \approx 0,923938 \, \sigma T^{4} \!\,

ustrezno manjša.

Gostota energijskega toka Rayleigh-Jeansovega približka[uredi | uredi kodo]

Gostota energijskega toka Rayleigh-Jeansovega približka je:

 j^{\star}_{\rm R} = 2 \pi c_{0} k_{\rm B} T \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{4}} \mathrm{d}\lambda \!\, .

Integral divergira:

 \int_{0}^{\infty} \, \frac{1}{\lambda^{4}} \mathrm{d}\lambda = \infty \!\, ,

tako da je gostota energijskega toka neskončna:

 j^{\star}_{\rm R} = \infty \!\, .

To je klasični rezultat, po katerem se energija sevanja izmenjuje zvezno.

Potrditev, sprejetje, uveljavitev in pomen[uredi | uredi kodo]

Nekaj fizikov je očitalo Stefanu, da je bila njegova pot do zakona precej majava. Naredili bi mu veliko krivico, če bi mislili, da je odkril zakon na slepo. Veliko srečnih naključij je vplivalo na njegovo določitev, kar se pogosto zgodi pri mnogih pomembnih odkritjih. Z meritvijo toplotne prevodnosti je bil prepričan, da Dulong-Petitov zakon ne velja, obvladal je kinetično teorijo plinov in uporabil absolutno temperaturo. Dulong-Petitov zakon je uporabljal še Celzijevo temperaturo.[24] Zakon so začeli preverjati tudi drugi. Leta 1880 ga je potrdil Graetz in leta 1884 Christiansen.[25][4]:30

Ob odkritju zakona še ni bilo popolnoma jasno kdaj točno velja. Sčasoma so spoznali, da velja za idealno črno telo. Model črnega telesa so razdelali Lummer in Pringsheim leta 1897 in Kurlbaum leta 1898.[26] Leta 1896 je Wien podal zakon za sevanje črnega telesa. Planck se je začel ukvarjati s sevanjem črnih teles leta 1894. Najprej je obravnaval vpliv elektromagnetnega valovanja na majhen električni dipol.[26] Leta 1900 je podal svoj zakon, Lord Rayleigh in Jeans pa sta leta 1905 podala svoj zakon na podlagi klasične fizike, ki se je izkazal kot približek Planckovega zakona. Planckovega zakona ni moč izpeljati le z enačbami za elektromagnetno polje in je treba upoštevati prijeme kvantne fizike. Planck se je z novo zamislijo, da sevanje ne more izmenjevati energije s steno črnega telesa zvezno, komaj sprijaznil. Njegov zakon sprva niso vzeli resno, leta 1905 pa je Einstein razširil njegovo zamisel in na ta način v svojem članku O nekem hevrističnem stališču, ki zadeva nastanek in spremembo svetlobe pojasnil fotoelektrični pojav. Leta 1920 je Bose razvil teorijo statistične mehanike fotonov, iz katere je bilo moč podati teoretično izpeljavo Planckovega zakona.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Stefan (1879).
  2. ^ 2,0 2,1 Boltzmann (1884).
  3. ^ 3,0 3,1 Strnad (2006), str. 51.
  4. ^ 4,0 4,1 4,2 Južnič (2004).
  5. ^ 5,0 5,1 Crepeau.
  6. ^ Sitar, str. 80.
  7. ^ Tyndall (1865b).
  8. ^ Kangro (1976), str. 8–10.
  9. ^ 9,0 9,1 Strnad (1985), str. 48.
  10. ^ Tyndall (1865a).
  11. ^ 11,0 11,1 11,2 Ericsson (1872).
  12. ^ Crova (1880).
  13. ^ Strnad (2001), str. 149.
  14. ^ Bartoli (1876/1884).
  15. ^ "Stefan-Boltzmannov zakon" (v angleščini). 
  16. ^ "Stefan-Boltzmannov zakon" (v angleščini). PlanetPhysics.org. 
  17. ^ Ericsson (1871).
  18. ^ "Izsev zvezd" (v angleščini). Australian Telescope Outreach and Education. Pridobljeno dne 2006-08-13. 
  19. ^ Kreith 2000).
  20. ^ Das (1996).
  21. ^ Cole, Woolfson (2002).
  22. ^ Nordell (2003), str. 310.
  23. ^ Strnad (1978), str. 523
  24. ^ Strnad (1990), str. 192.
  25. ^ Sitar, str. 83.
  26. ^ 26,0 26,1 Strnad (1982), str. 3.

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]