Statistična vsota

Statistična vsota (ali tudi particijska funkcija, navadno jo označujemo s črko Z) je v statistični mehaniki fizikalna količina, ki opisuje sistem v toplotnem ravnovesju. Za zaprt sistem z disktretnimi energijskimi stanji jo lahko izračunamo kot

$Z = \sum_i \exp\left(-\frac{E_i}{k_B T}\right) \!\, .$

Pri tem je E_i energija i-tega stanja, k_B Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura. Indeks i teče po vseh energijskih stanjih.

Statistična vsota igra pomembno vlogo pri številnih pojmih statistične mehanike.

Boltzmannova porazdelitev

Boltzmannova porazdelitev opisuje sistem razločljivih delcev v toplotnem ravnovesju pri dani temperaturi. Zanje velja, da verjetnostna gostota za zasedenost energijskega nivoja eksponentno pojema z njegovo energijo:

$w(E_i) = \frac{N_i}{\sum_i N_i} = \frac{e^{-E_i/k_B T}}{\sum_i e^{-E_i/k_B T}} \!\, .$

Imenovalec je ravno statistična vsota.

Odvisnost statistične vsote od temperature

Z naraščajočo temperaturo statistična vsota narašča. Če izhodišče energijske skale postavimo v osnovni energijski nivo, predstavlja statistična vsota merilo za to, kako je z naraščanjem temperature zasedenih vse več energijskih nivojev.

Prosta energija

Statistična vsota je povezana s termodinamičnim potencialom, imenovanim prosta energija F:

$Z = e^{-\beta F} \!\, .$

Zaradi krajšega zapisa smo vpeljali količino $\beta = 1/(k_{B} T)$, inverzno temperaturo.

Povprečna energija sistema

Če poznamo odvisnost statistične vsote od temperature, lahko izračunamo povprečno energijo sistema.

$\langle E \rangle = \sum_i w(E_i) E_i = \frac{\sum_i E_i e^{-\beta E_i}}{\sum_i e^{-\beta E_i}} = \sum_i E_i e^{\beta(F-E_i)} \!\, .$

Slednjo vsoto najlažje izračunamo, če odvajamo po β naslednji izraz, ki velja zaradi normalizacije (po vseh stanjih morajo biti porazdeljeni ravno vsi delci):

$\sum_i e^{-\beta(F-E_i)} = 1 \!\,$

Velja:

$0 = \frac{\partial}{\partial\beta} \sum_i e^{-\beta(F-E_i)} = \sum_i \frac{\partial}{\partial\beta} e^{-\beta(F-E_i)} = -F\sum_i e^{-\beta(F-E_i)} + \sum_i E_i e^{-\beta(F-E_i)} \!\, .$

Zadnji izraz je ravno iskani izraz. Odtod dobimo

$\langle E \rangle = \frac{d(\beta F)}{d\beta} \!\,$

Glej tudi

• Boltzmannov faktor

Viri

• D. A. McQuarrie (1976), Statistical mechanics, New York, Harper & Row. (COBISS)
• T. L. Hill (1986), An introduction to statistical thermodynamics, New York, Dover Publications. (COBISS)