Očrtana krožnica

Mnogokotniku očrtana krožnica

Očrtana krožnica je v ravninski geometriji krožnica, ki poteka skozi vsa oglišča danega mnogokotnika. Množica točk, ki jo ta krožnica omejuje, se imenuje očrtani krog.

Obstoj očrtane krožnice

Krožnico lahko očrtamo samo nekaterim mnogokotnikom. Če očrtana krožnica obstaja, so stranice mnogokotnika tetive krožnice, zato takemu mnogokotniku rečemo tetivni mnogokotnik. Oglišča mnogokotnika so v tem primeru sokrožne točke.

Simetrala tetive vedno poteka skozi središče krožnice. To nam omogoča konstrukcijo očrtane krožnice, pa tudi kriterij, kdaj očrtana krožnice sploh obstaja. Imejmo podan mnogokotnik:

• Najprej konstruiramo simetrale vseh stranic.
• Če se simetrale vseh stranic sekajo v isti točki, potem očrtana krožnica obstaja in ta točka je središče očrtane krožnice.
• Polmer očrtane krožnice je razdalja med središčem in poljubnim ogliščem.

Polmer očrtane krožnice je v novejših matematičnih učbenikih vedno označen z R, polmer včrtane krožnice pa z r (v starejših učbenikih je bil polmer očrtane krožnice r, polmer včrtane krožnice pa ρ).

Nekateri mnogokotniki, ki jim lahko zagotovo očrtamo krožnico:

• trikotnik
• pravokotnik
• enakokraki trapez
• pravilni mnogokotnik

Trikotniku očrtana krožnica

Trikotnik ima lastnost, da se simetrale stranic vedno sekajo v isti točki, zato lahko trikotniku vedno očrtamo krožnico. Za polmer očrtane krožnice veljata dve pomembni formuli:

• sinusni izrek:

$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$

• povezava s ploščino (S) trikotnika:

$R=\frac{abc}{4S}$

Štirikotniku očrtana krožnica

Krožnico lahko očrtamo samo nekaterim štirikotnikom - imenujemo jih tetivni štirikotniki.

Karakteristična za tetivne štirikotnike je lastnost, da sta nasprotna kota suplementarna.

$\alpha + \gamma = 180^{\circ}, \quad \beta + \delta = 180^{\circ} \!\, .$

Za polmer štirikotniku očrtanega kroga (R) velja naslednja zveza s ploščino (S):

$R = \, \frac{e (ab+cd)}{4S} = \frac{f (ad+bc)}{4S} \!\, .$

Glej tudi

• včrtana krožnica