Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti

Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti
oznaka	$\textrm{GEV}(\mu,\,\sigma,\,\xi)$
parametri	$\mu \epsilon R \!$ — parameter lokacije, $\sigma > 0 \!$ — parameter merila, $\xi \epsilon R\!$ — parameter oblike
interval	$x \epsilon [\mu - \sigma/\xi, +\omega) \!$,kadar je $\xi > 0 \!$, $x \epsilon (-\infin +\infin)\!$, kadar je $\xi = 0 \!$, $x \epsilon (-\infin, \mu - \sigma/\xi] \!$, kadar je $\xi < 0 \!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{1}{\sigma}\,t(x)^{\xi+1}e^{-t(x)},$   kjer je $t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)^{-1/\xi} & \textrm{za}\ \xi\neq0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{za}\ \xi=0\end{cases}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$e^{-t(x)},\,$   za $x \text { iz intervala} \!$
pričakovana vrednost	$\begin{cases}\mu + \sigma\frac{\Gamma(1-\xi)-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq 0,\xi<1,\\ \mu + \sigma\,\gamma & \text{kadar je}\ \xi=0,\\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq 1,\end{cases}$ kjer je $\gamma \!$ Euler-Mascheronijeva konstanta
mediana	$\begin{cases}\mu + \sigma \frac{(\ln2)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\\ \mu - \sigma \ln\ln2 & \text{kadar je}\ \xi=0.\end{cases}$
modus	$\begin{cases}\mu + \sigma \frac{(1+\xi)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\\ \mu & \text{kadar je}\ \xi=0.\end{cases}$
varianca	$\begin{cases}\sigma^2\,(g_2-g_1^2)/\xi^2 & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\xi<\frac12,\\ \sigma^2\,\frac{\pi^2}{6} & \text{kadar je}\ \xi=0, \\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq\frac12,\end{cases}$ kjer je $g_k =\Gamma (1 - k\xi)\!$
simetrija	$\frac{g_3-3g_1g_2+2g_1^3}{(g_2-g_1^2)^{3/2}}$
sploščenost	$\frac{g_4-4g_1g_3+6g_2g_1^2-3g_1^4}{(g_2-g_1^2)^{2}}$
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti (tudi Fisher-Tippettova porazdelitev)je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena s tremi parametri. Razvita je bila v okviru teorije ekstremnih vrednosti. V resnici je kombinacije treh porazdelitev Gumbelove, Fréchetove in Weibullove porazdelitve. Te tri porazdelitve so znane tudi kot porazdelitve ekstremnih vrednosti tipa I, II in III. Včasih jo imenujejo tudi kot Fisher-Tippettova porazdelitev. Imenuje se po Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in Leonardu Henryju Calebu Tippettu (1902 – 1985), ki sta prva proučevala vse tri tipe porazdelitev ekstremnih vrednosti.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

$f(x;\mu,\sigma,\xi) = \frac{1}{\sigma}\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{(-1/\xi)-1}$

$\exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}$

kjer je

• $t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)^{-1/\xi} & \textrm{za}\ \xi\neq0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{za}\ \xi=0\end{cases}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 :$F(x;\mu,\sigma,\xi) = \exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\begin{cases}\mu + \sigma\frac{\Gamma(1-\xi)-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq 0,\xi<1,\\ \mu + \sigma\,\gamma & \text{kadar je}\ \xi=0,\\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq 1,\end{cases}$

kjer je

• $\gamma \!$ Euler-Mascheronijeva konstanta

Varianca

Varianca je enaka $\begin{cases}\sigma^2\,(g_2-g_1^2)/\xi^2 & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\xi<\frac12,\\ \sigma^2\,\frac{\pi^2}{6} & \text{kadar je}\ \xi=0, \\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq\frac12,\end{cases}$

kjer je

• $g_k =\Gamma (1 - k\xi)\!$ funkcija gama

Ostale oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti

Znane so tri oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti:

• Gumbelova porazdelitev (tip I porazdelitev ekstremnih vrednosti)

$F(x;\mu,\sigma)=e^{-e^{-(x-\mu)/\sigma}}\;\;\; za \;\; x\in\mathbb R.$

• Fréchetova porazdelitev (tip II porazdelitev ekstremnih vrednosti)

$F(x;\mu,\sigma,\alpha)=\begin{cases} 0 & x\leq \mu \\ e^{-((x-\mu)/\sigma)^{-\alpha}} & x>\mu. \end{cases}$

• Obrnjena Weibullova porazdelitev (tip III porazdelitev ekstremnih vrednosti)

$F(x;\mu,\sigma,\alpha)=\begin{cases} e^{-(-(x-\mu)/\sigma)^{\alpha}} & x<\mu \\ 1 & x\geq \mu \end{cases}$

kjer je

• $\sigma>0 \!$
• $\alpha>0\!$.

Povezave med temi tremi porazdelitvami lahko opišemo na naslednji način:
Kadar je zbirna funkcija porazdelitve neke slučajne spremenljivke $X \!$, ki ima ekstremne vrednosti porazdeljene po porazdelitvah tipa II ali $F(x, 0, \sigma, \alpha) \!$, potem ima zbirna funkcija porazdelitve slučajne spremenljivke $lnX \!$ porazdelitev tipa I ali $F(x, ln\sigma, 1/\alpha) \!$. Podobno je takrat, ko ima slučajna spremenljivka $X \!$ porazdelitev tipa III oziroma $F(x, 0, \sigma, \alpha) \!$, potem je zbirna funkcija porazdelitve za $lnX \!$ tipa I.

Zunanje povezave

• Opis porazdelitve ekstremnih vrednosti (v angleščini)
• porazdelitve ekstremnih vrednostina MathWave (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev