Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti
oznaka \textrm{GEV}(\mu,\,\sigma,\,\xi)
parametri  \mu \epsilon R \!parameter lokacije,
  \sigma > 0 \!parameter merila,
\xi  \epsilon R\!parameter oblike
interval  x \epsilon [\mu - \sigma/\xi, +\omega) \!,kadar je  \xi > 0 \!,
x \epsilon (-\infin +\infin)\!, kadar je  \xi = 0 \!,
 x \epsilon (-\infin, \mu - \sigma/\xi] \!, kadar je  \xi < 0 \!
funkcija gostote verjetnosti
(pdf)
\frac{1}{\sigma}\,t(x)^{\xi+1}e^{-t(x)},  
kjer je t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)^{-1/\xi} & \textrm{za}\ \xi\neq0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{za}\ \xi=0\end{cases}
zbirna funkcija verjetnosti
(cdf)
e^{-t(x)},\,  
za  x \text { iz intervala} \!
pričakovana vrednost \begin{cases}\mu + \sigma\frac{\Gamma(1-\xi)-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq 0,\xi<1,\\ \mu + \sigma\,\gamma & \text{kadar je}\ \xi=0,\\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq 1,\end{cases}
kjer je  \gamma \! Euler-Mascheronijeva konstanta
mediana \begin{cases}\mu + \sigma \frac{(\ln2)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\\ \mu - \sigma \ln\ln2 & \text{kadar je}\ \xi=0.\end{cases}
modus \begin{cases}\mu + \sigma \frac{(1+\xi)^{-\xi}-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\\ \mu & \text{kadar je}\ \xi=0.\end{cases}
varianca \begin{cases}\sigma^2\,(g_2-g_1^2)/\xi^2 & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\xi<\frac12,\\ \sigma^2\,\frac{\pi^2}{6} & \text{kadar je}\ \xi=0, \\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq\frac12,\end{cases}

kjer je g_k =\Gamma (1 - k\xi)\!
simetrija \frac{g_3-3g_1g_2+2g_1^3}{(g_2-g_1^2)^{3/2}}
sploščenost \frac{g_4-4g_1g_3+6g_2g_1^2-3g_1^4}{(g_2-g_1^2)^{2}}
entropija
funkcija generiranja momentov
(mgf)
karakteristična funkcija

Splošna porazdelitev ekstremnih vrednosti (tudi Fisher-Tippettova porazdelitev)je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev, ki je določena s tremi parametri. Razvita je bila v okviru teorije ekstremnih vrednosti. V resnici je kombinacije treh porazdelitev Gumbelove, Fréchetove in Weibullove porazdelitve. Te tri porazdelitve so znane tudi kot porazdelitve ekstremnih vrednosti tipa I, II in III. Včasih jo imenujejo tudi kot Fisher-Tippettova porazdelitev. Imenuje se po Ronaldu Aylmerju Fisherju (1890 – 1962) in Leonardu Henryju Calebu Tippettu (1902 – 1985), ki sta prva proučevala vse tri tipe porazdelitev ekstremnih vrednosti.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Funkcija gostote verjetnosti za porazdelitev je

f(x;\mu,\sigma,\xi) = \frac{1}{\sigma}\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{(-1/\xi)-1}
\exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}

kjer je

  • t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi\tfrac{x-\mu}{\sigma}\big)^{-1/\xi} & \textrm{za}\ \xi\neq0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{za}\ \xi=0\end{cases}

Zbirna funkcija verjetnosti[uredi | uredi kodo]

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

 :F(x;\mu,\sigma,\xi) = \exp\left\{-\left[1+\xi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\}

Pričakovana vrednost[uredi | uredi kodo]

Pričakovana vrednost je enaka

\begin{cases}\mu + \sigma\frac{\Gamma(1-\xi)-1}{\xi} & \text{kadar je}\ \xi\neq 0,\xi<1,\\ \mu + \sigma\,\gamma & \text{kadar je}\ \xi=0,\\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq 1,\end{cases}

kjer je

Varianca[uredi | uredi kodo]

Varianca je enaka \begin{cases}\sigma^2\,(g_2-g_1^2)/\xi^2 & \text{kadar je}\ \xi\neq0,\xi<\frac12,\\ \sigma^2\,\frac{\pi^2}{6} & \text{kadar je}\ \xi=0, \\ \text{ne obstoja} & \text{kadar je}\ \xi\geq\frac12,\end{cases}

kjer je

Ostale oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti[uredi | uredi kodo]

Znane so tri oblike porazdelitev ekstremnih vrednosti:

 F(x;\mu,\sigma)=e^{-e^{-(x-\mu)/\sigma}}\;\;\; za \;\; x\in\mathbb R.
 F(x;\mu,\sigma,\alpha)=\begin{cases} 0 & x\leq \mu \\ e^{-((x-\mu)/\sigma)^{-\alpha}} & x>\mu. \end{cases}
 F(x;\mu,\sigma,\alpha)=\begin{cases} e^{-(-(x-\mu)/\sigma)^{\alpha}} & x<\mu \\ 1 & x\geq \mu \end{cases}

kjer je

  • \sigma>0 \!
  • \alpha>0\!.

Povezave med temi tremi porazdelitvami lahko opišemo na naslednji način:
Kadar je zbirna funkcija porazdelitve neke slučajne spremenljivke X \!, ki ima ekstremne vrednosti porazdeljene po porazdelitvah tipa II ali F(x, 0, \sigma, \alpha) \!, potem ima zbirna funkcija porazdelitve slučajne spremenljivke  lnX \! porazdelitev tipa I ali F(x, ln\sigma, 1/\alpha) \!. Podobno je takrat, ko ima slučajna spremenljivka X \! porazdelitev tipa III oziroma F(x, 0, \sigma, \alpha) \!, potem je zbirna funkcija porazdelitve za  lnX \! tipa I.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Glej tudi[uredi | uredi kodo]