Singularna točka krivulje

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje[uredi | uredi kodo]

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk  (x, y) , ki zadoščajo enačbi z obliko  f(x, y) = 0 , kjer je f polinomska funkcija f:\text { }R^2  \to R . Funkcijo f razvijmo kot

f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\,.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja a_0 = 0 . Če pa je  b_1 \ne 0 , nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko  y = h(x) . Podobno lahko zapišemo, če je  b_0 \ne 0 , potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko  x = k(y) . V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

b_0={\partial f\over\partial x},\,b_1={\partial f\over\partial y},.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

f(x,y)={\partial f\over\partial x}={\partial f\over\partial y}=0 .

Regularne točke[uredi | uredi kodo]

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo  y \text { }= \text { }mx . V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\,

Kadar vrednost izraza  b_0 + mb_1 ni enaka 0 takrat ima enačba  f \text { }= \text { }0 eno rešitev v  x\text { } = \text { } 0 . Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico  y \text { }= \text { } mx . Če pa je  b_0 +mb_1 = 0 , potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica  y\text { } =\text { } mx ali  b_0 x +b_1 y = 0 je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta  b_0 in  b_1 enaka 0 in je vsaj eden od  c_0,\text { } c_1,\text { } c_2 ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je  y = mx , lahko zapišemo

f=(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+(d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3)x^3+\dots \,.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c0+mc1+m2c2=0.

Dvojne točke[uredi | uredi kodo]

Kadar je  c_0 + mc_1 + m^2c_2 = 0 dobimo dve realni rešitvi. Če pa je c_0c_2-c_2^2 <0 se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe  c_0 +mc_1 +m^2c_2 = 0 . Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke[uredi | uredi kodo]

Kadar enačba  c_0 +mc_1 +m^2c_2 = 0 nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata[uredi | uredi kodo]

Če c_0 + mc_1 + m^2c_2 =0 nima realnih rešitev in je  c_0 c_1- c_1^2 = 0 , potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]