Singularna točka krivulje

Singularna točka krivulje je na krivulji točka, kjer ji parameter ne daje gladkosti. Natančna definicija singularne točke je odvisna od vrste krivulje.

Algebrske krivulje

Algebrske krivulje v ravnini lahko definiramo kot množico točk $(x, y)$, ki zadoščajo enačbi z obliko $f(x, y) = 0$, kjer je f polinomska funkcija $f:\text { }R^2 \to R$. Funkcijo f razvijmo kot

$f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\,$.

Kadar je koordinatno izhodišče na krivulji, velja $a_0 = 0$. Če pa je $b_1 \ne 0$, nam izrek o implicitni funkciji potrjuje, da obstoja gladka funkcija h tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $y = h(x)$. Podobno lahko zapišemo, če je $b_0 \ne 0$, potem obstoja gladka funkcija k, tako, da ima krivulja v bližini izhodišča obliko $x = k(y)$. V obeh primerih obstoja gladka preslikava iz R na ravnino, ki določa krivuljo v bližini izhodišča. V izhodišču velja

$b_0={\partial f\over\partial x},\,b_1={\partial f\over\partial y},$.

Krivulja je nesingularna v izhodišču, če je vsaj eden od parcialnih odvodov različen od 0. To pa pomeni, da so singularne točke tiste točke na krivulji, kjer sta oba parcialna odvoda enaka nič:

$f(x,y)={\partial f\over\partial x}={\partial f\over\partial y}=0$.

Regularne točke

Predpostavimo, da teče krivulja skozi izhodišče in, da lahko pišemo $y \text { }= \text { }mx$. V tem primeru lahko funkcijo f zapišemo kot

$f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\,$

Kadar vrednost izraza $b_0 + mb_1$ ni enaka 0 takrat ima enačba $f \text { }= \text { }0$ eno rešitev v $x\text { } = \text { } 0$. Izhodišče je v tem primeru točka edinega stika s premico $y \text { }= \text { } mx$. Če pa je $b_0 +mb_1 = 0$, potem ima enačba vsaj dvojno rešitev in premica $y\text { } =\text { } mx$ ali $b_0 x +b_1 y = 0$ je tangenta na krivuljo.

Dvojne točke

Trije Pascalovi polži, ki prikazujejo tri vrste dvojnih točk. Leva krivulja ima izolirano točko v izhodišču. Srednja krivulja je srčnica, ki ima točko obrata v izhodišču. Desna krivulja ima dvojno točko v izhodišču, seka samo sebe in tvori zanko.

Kadar sta $b_0$ in $b_1$ enaka 0 in je vsaj eden od $c_0,\text { } c_1,\text { } c_2$ ni enak 0, potem se izhodišče imenuje dvojna točka. Če je $y = mx$, lahko zapišemo

$f=(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+(d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3)x^3+\dots \,$.

Dvojne točke lahko razvrstimo v skupine glede na rešitve enačbe c₀+mc₁+m²c₂=0.

Dvojne točke

Kadar je $c_0 + mc_1 + m^2c_2 = 0$ dobimo dve realni rešitvi. Če pa je $c_0c_2-c_2^2 <0$ se izhodišče imenuje dvojna točka. Krivulja seka samo sebe v izhodišču ter ima dve različni tangenti, ki pripadata dvema rešitvama enačbe $c_0 +mc_1 +m^2c_2 = 0$. Funkcija f ima sedlasto točko v izhodišču.

Izolirane točke

Kadar enačba $c_0 +mc_1 +m^2c_2 = 0$ nima realnih rešitev, se izhodišče imenuje izolirana točka. V realni ravnini je izhodišče izolirana točka množice na krivulji.

Točke obrata

Če $c_0 + mc_1 + m^2c_2 =0$ nima realnih rešitev in je $c_0 c_1- c_1^2 = 0$, potem se izhodišče imenuje izolirana točka. Krivulja v tem primeru v izhodišču spremeni smer in tvori konico. Krivulja ima samo eno tangento v izhodišču, ki jo lahko obravnavamo kot dve enaki tangenti.

Glej tudi

• teorija singularnosti

Zunanje povezave

• Singularne točke (poglavje II) (v angleščini)