Seznam neperiodičnih množic tlakovanj

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Prisekano trišestkotno periodično tlakovanje, ki ima prikazani osnovni celici (trikotnik) in primitivno celico (šestkotnik). Tlakovanje celotne ravnine se dobi s kopiranjem trikotnih delov površine. Da bi to lahko naredili, moramo osnovni trikotnik zavrteti za 180º, da bi pokrili ravnino od roba do roba. Torej bo trikotno tlakovanje z osnovnimi enotami nastalo iz dveh lokalnih medsebojno izpeljivih tlakovanj, ki sta prikazani z isto barvo. Druga oblika, ki je narisana v tlakovanju, je beli šestkotnik, ki predstavlja osnovno celico. Kopije pripadajočih obarvanih ploščic se lahko prenesejo s translacijo tako, da tvorijo neskončno tlakovanje ravnine. Teh delov tlakovanja ni potrebno zavrteti, da bi to dosegli.

Seznam neperiodičnih množic tlakovanj je v geometriji skupina oblik imenovanih ploščice, ki ravnino pokrijejo brez lukenj ali prekrivanj [1].

Takšno tlakovanje je sestavljeno iz osnovnih enot ali primitivnih celic. Imenuje se periodično [2].

Zgled takšnega tlakovanja je prikazan desni. Vsako periodično tlakovanje ima primitivno celici, ki ga generira. Tlakovanje, ki ne more biti iz ene primitivne celice, se imenuje neperiodično. Kadar dana množica ploščic dovoljuje samo neperiodično tlakovanje, je takšna množica aperiodična [3]

Prva preglednica pojasnjuje okrajšave uporabljene v drugi preglednici. Druga preglednica vsebuje vse znane aperiodične množice ploščic in daje nekaj dodatnih podatkov o vsaki množici.

okrajšava pomen pojasnilo
E2 evklidska ravnina običajna ravnina
H2 hiperbolična ravnina ravnina na kateri ne velja aksiom o vzporednici
E3 evklidski trirazsežni prostor prostor, ki je določen s tremi pravokotnimi osmi
MLD vzajemno lokalno izpeljivo dve tlakovanji sta vzajemno izpeljivi, če se eno tlakovanje dobi iz drugega s preprostim lokalnim pravilom (brisanje ali dodajanje roba)

Pregled[uredi | uredi kodo]

slika ime število ploščic prostor datum objave reference opombe
Trilobite and cross.svg
trilobitne in križne ploščice 2 E2 1999 [4] Tlakovanja MLD iz sedežnih tlakovanj
Penrose P1.svg
Penroseove ploščice P1 6 E2 1974 [5] Tlakovanja MLD iz tlakovanj od P2 in P3, Robinsonovi trikotniki in "morska zvezda, bršljanov list, heks"
Kite Dart.svg
Penroseove ploščice P2 2 E2 1977 [6] Tlakovanja MLD iz tlakovanj P1 in P3, Robinsonovih trikotnikov in "morske zvezde, bršljanovega lista in heksa"
Penrose rhombs.svg
Penroseove ploščice P3 2 E2 1978 [7] Tlakovanja MLD iz tlakovanj P1 in P2 ter Robinsonovega trikotnika in "morske zvezde, bršljanovega lista in heksa"
Binary tiles.svg
binarne ploščice 2 E2 1988 [8][9] Čeprav so po obliki podobne ploščicam P3, tlakovanja niso MLD tlakovanja, ki jih lahko izpeljemo drug iz drugega v modelu razporeditve atomov v dvojnih (binarnih) zlitinah
Robinson tiles.svg
Robinsonove ploščice 6 E2 1971 [10] Ploščice dajejo občutek neperiodičnosti s tvorbo neskončne hierarhije kvadratnih mrež
ni slike Ammannove A1 ploščice 6 E2 1977[11] [12] Ploščice dajejo občutek neperiodičnosti s tvorbo neskončnega hierarhičnega binarnega drevesa.
Ammann A2.svg
Ammannove A2 ploščice 2 E2 1986 [13]
Ammann A3.svg
Ammannove ploščice A3 3 E2 1986 [13]
Ammann A4.svg
Ammannove ploščice A4 2 E2 1986 [13][14] Tlakovanja MLD z Ammannom A5.
Ammann A5.svg
Ammannove ploščice A5 2 E2 1982 [15][16] Tlakovanja MLD z Ammannom A4.
ni slike Penroseove šestkotno-trikotne ploščice 2 E2 1997[17] [17][18]
ni slike ploščice zlatega trikotnika 10 E2 2001 [19] [20] Datum odkritja primerjalnih pravil. Dualne z Ammannom A2
Socolar.svg
sokolar ploščice 3 E2 1989 [21][22] Tlakovanje MLD z uporabo zaščitnih ploščic
Shield.svg
zaščitne ploščice 4 E2 1988[Note 8] [23][24] Tlakovanja MLD iz Sokolar ploščic
Square triangle tiles.svg
kvadratne trikotne ploščice 5 E2 1986[25] [26]
Self-replication of sphynx hexidiamonds.svg
sfingino tlakovanje 91 E2 [27]
Starfish ivyleaf hex.svg
ploščice morska zvezda, bršljanov list in heks 3 E2 [28][29][30] Tlakovanje je MLD za Penroseovo tlakovanje P1, P2, P3 in Robinsonove trikotnike
Robinson triangle decompositions.svg
Robinsonov trikotnik 4 E2 [12] Tlakovanje je MLD za Penroseovo tlakovanje P1, P2, P3 ter "morsko zvezdo, bršljanov list in heks".
Danzer triangles.svg
Danzerjevi trikotniki 6 E2 1996[31] [32]
Pinwheel 1.svg
tlakovanja vetrnic E2 1994[33][34] [35][36] Datum velja za objavo pravil ujemanja.
ni slike Wangove ploščice 20426 E2 1966 [37]
ni slike Wangove ploščice 104 E2 2008 [38]
ni slike Wangove ploščice 52 E2 1971 [39] Ploščice dajejo občutek aperiodičnosti s kreiranjem neskončne hierahije kvadratnih mrež
Wang 32 tiles.svg
Wangove ploščice 32 E2 1986 [40] Lokalno izpeljane iz Penroseovih ploščic.
ni slike Wangove ploščice 24 E2 1986 [40] Lokalno izpeljano iz tlakovanja A2
Wang 16 tiles.svg
Wangove ploščice 16 E2 1986 [41][42] Izpeljano iz tlakovanja A2 in njegovih Ammannovih drogov
Wang 14 tiles.svg
Wangove ploščice 14 E2 1996 [43][44]
Wang 13 tiles.svg
Wangove ploščice 13 E2 1996 [45][46]
ni slike dekagonalne spužvine ploščice 1 E2 2002 [47][48] Porozne ploščice, ki so sestavljene iz neprekrivajočih se množice točk
ni slike Goodman-Straussove strogo aperiodične ploščice 85 H2 2005 [49]
ni slike Goodman-Straussove strogo aperiodične ploščice 26 H2 2005 [50]
Goodman-Strauss hyperbolic tile.svg
Böröczkijeva hiperbolična ploščica 1 Hn 1974[51] [50] [52] Samo slabo aperiodične
ni slike Schmittova ploščica 1 E3 1988 [53] Vijačno periodične
SCD tile.svg
Schmitt–Conway–Danzerjeve ploščice 1 E3 [53] Vijačno periodične in konveksni
Socolar Taylor 3D.svg
Socolar Taylorjeva ploščica 1 E3 2010 [54][55] Periodično v tretji razsežnosti
ni slike Penroseov romboeder 2 E3 1981[56] [57][58][59][60][61][62][63]
ni slike Wangove kocke 21 E3 1996 [64]
ni slike Wangove kocke 18 E3 1999 [65]
ni slike Wangove kocke 16 E3 [66]
ni slike Danzerjevi tetraedri 4 E3 1989[67] [68]
I and L tiles.png
I in L ploščice 2 En for all n ≥ 3 1999 [69]

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Grünbaum B., Shephard G. C. (1977), "Tilings by Regular Polygons", Math. Mag. 50 (5): 227–247, doi:10.2307/2689529. (arhivirano pri WebCite)
  2. ^ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells (arhivirano pri WebCite)
  3. ^ Ollinger N. Mathematica in action (gel stran 268)
  4. ^ Goodman-Strauss C. (1999), "A Small Aperiodic Set of Planar Tiles", European Journal of Combinatorics 20 (5): 375–384, doi:10.1006/eujc.1998.0281  (prepis dosegljiv na here)
  5. ^ Mikhael J. Colloidal Monolayers On Quasiperiodic Laser Fields (glej stran 23) (arhivirano na WebCite)
  6. ^ Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (see page 86) (arhivirano pri WebCite)
  7. ^ Penrose R. (1979/80), "Pentaplexity", Math. Intell. 2: 32–37. (arhivirano pri WebCite)
  8. ^ Lançon F., Billard L. (1988), "Two-dimensional system with a quasi-crystalline ground state", J. Phys. France 49 (2): 249–256, doi:10.1051/jphys:01988004902024900.  (arhivirano pri WebCite)
  9. ^ Lançon F., Billard L. (1992), "A simple example of a non-Pisot tiling with five-fold symmetry", J. Phys. I France 2 (2): 207–220, Bibcode:1992JPhy1...2..207G, doi:10.1051/jp1:1992134. (arhivirano pri WebCite)
  10. ^ Goodman-Strauss C. (1999), "Aperiodic Hierarchical tilings", Proc. of NATO-ASI "Foams, Emulsions, and Cellular Materials" Ser. E 354: 481–496. 
  11. ^ Gardner, Martin (2001). The Colossal Book of Mathematics. W. W. Norton & Company. str. 76. 
  12. ^ 12,0 12,1 Grünbaum B. and Shephard G. C. Tilings and Patterns. , according to [1]; cf [2]
  13. ^ 13,0 13,1 13,2 Ammann R., Grünbaum B. and Shephard G. C. (1992), "Aperiodic Tiles", Discrete Comp Geom 8: 1–25, doi:10.1007/BF02293033. 
  14. ^ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4
  15. ^ Komatsu K., Nomakuchi K., Sakamoto K., Tokitou T. (2004), "Representation of Ammann-Beenker tilings by an automaton", Nihonkai Math. J. 15: 109–118. (arhivirano pri WebCite)
  16. ^ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker
  17. ^ 17,0 17,1 Penrose R. (1997), "Remarks on tiling: Details of a (1+ε+ε2) aperiodic set.", Nato Asi Series C, 489 The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order: 467–497, ISBN 978-0-7923-4506-0. 
  18. ^ Goodman-Strauss C., An aperiodic pair of tiles
  19. ^ Danzer, Ludwig; van Ophuysen, Gerrit (2001). "A species of planar triangular tilings with inflation factor \sqrt-\tau". Res. Bull. Panjab Univ. Sci. 50 (1-4): 137–175. MR 1914493. 
  20. ^ Gelbrich, G (1997). "Fractal Penrose tiles II. Tiles with fractal boundary as duals of Penrose triangles". Aequationes Math. 54: 108–116. MR MR1466298. 
  21. ^ Gähler F., Lück R., Ben-Abraham S. I., Gummelt P.Dodecagonal tilings as maximal cluster coverings (arhivirano pri WebCite)
  22. ^ The Socolar tiling
  23. ^ Gähler F., Frettlöh D. Shield
  24. ^ Gähler F. (1993), "Matching rules for quasicrystals: the composition-decomposition method", J. of Non-crystalline Solids, 153&154: 160–164. (arhivirano pri WebCite)
  25. ^ Stampfli, P (1986). "A Dodecagonal Quasiperiodic Lattice in Two Dimensions". Helv. Phys. Acta. 59: 1260–1263. 
  26. ^ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes (arhivirano pri WebCite)
  27. ^ Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (glej stran 74)
  28. ^ Lord E. A. (1991), "Quasicrystals and Penrose patterns", Current Science 61: 315. 
  29. ^ Olamy Z., Kléman M. (1989), "A two dimensional aperiodic dense tiling", J. Phys. France 50: 19–33, doi:10.1051/jphys:0198900500101900.  (arhivirano pri WebCite)
  30. ^ Mihalkovič M., Henley C. L., Widom M. (2004), "Combined energy-diffraction data refinement of decagonal AlNiCo", J. Non-Cryst. Solids, 334&335: 177–183.  (arhivirano pri WebCite)
  31. ^ Nischke, K-P and Danzer, L, "A construction of inflation rules based on $n$-fold symmetry". Discrete Comput. Geom. 15 (2): 221–236. 1996.  96j:52035
  32. ^ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract:Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling
  33. ^ Radin, C (1994). "The pinwheel tilings of the plane". Annals of Mathematics(2) 139 (3): 661–702. doi:10.2307/2118575. JSTOR 2118575. MR 95d:52021. Pridobljeno dne 2010-04-03. 
  34. ^ Charles Radin (1994). "Symmetry Of Tilings Of The Plane". Annals of Math. Pridobljeno dne 2010-04-03. 
  35. ^ Radin, C; Wolff, M (1992). "Space tilings and local isomorphism". Geom. Dedicata 42 (3): 355–360. MR 1164542. 
  36. ^ Radin, C (1997). "Aperiodic tilings, ergodic theory, and rotations". The mathematics of long-range aperiodic order. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. MR 1460035. 
  37. ^ Burger, R (1966). "The Undecidability of the Domino Problem". Memoirs of the American Mathematical Society 66: 1–72. 
  38. ^ Ollinger, Nicolas (2008). Two-by-two Substitution Systems and the Undecidability of the Domino Problem. Springer. str. 476–485. 
  39. ^ Kari, J.; Papasoglu, P. (1999). "Deterministic Aperiodic Tile Sets". Geometric and Functional Analysis 9: 353–369. 
  40. ^ 40,0 40,1 Lagae A., Kari J., Dutré P. (2006), "Aperiodic Sets of Square Tiles with Colored Corners", Report CW 460: 12. (arhivirano pri WebCite)
  41. ^ Grünbaum, B.; Shephard, G. C. (1986), Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1194-X 
  42. ^ Carbone, A.; Gromov, M.; Prusinkiewicz, P. (2000), Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics, Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., ISBN 981-02-3792-8 
  43. ^ Kari J. manjša neperiodična množica Wangovih ploščic". Discrete Mathematics, 160(1-3):259–264
  44. ^ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (see page 149) (arhivirano pri WebCite)
  45. ^ Culik K., Kari J. On aperiodic sets of Wang tiles
  46. ^ Culik K. An aperiodic set of 13 Wang tiles (arhivirano pri WebCite)
  47. ^ Zhu F. The Search for a Universal Tile
  48. ^ Bailey D. A., Zhu F. A Sponge-Like (Almost) Universal Tile
  49. ^ Goodman-Strauss C., A hierarchical strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane
  50. ^ 50,0 50,1 Goodman-Strauss C. (2005), "A strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane", Invent. Math. 159: 130–132, Bibcode:2004InMat.159..119G, doi:10.1007/s00222-004-0384-1 
  51. ^ Böröczky, K. (1974), "Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I", Mat. Lapok. 25: 265–306. Böröczky, K. (1974), "Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II", Mat. Lapok. 26: 67–90. 
  52. ^ Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces (arhivirano pri WebCite)
  53. ^ 53,0 53,1 Radin, Charles (1995), "Aperiodic tilings in higher dimensions", Proceedings of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 123 (11): 3543–3548, doi:10.2307/2161105, JSTOR 2161105. 
  54. ^ Socolar J. E. S. and Taylor J. M. An aperiodic hexagonal tile
  55. ^ Socolar J. E. S. and Taylor J. M. Forcing nonperiodicity with a single tile
  56. ^ Mackay A. L. (1981), "De Nive Quinquangula: On the pentagonal snowflake", Sov. Phys. Crystallogr., 26(5): 517–522.  (arhivirano pri WebCite)
  57. ^ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiments on the growth kinetics of decagonal quasicrystals) Dissertation (glej stran 18-19) (arhivirano pri WebCite)
  58. ^ Jirong S. (1993), "Structure Transition of the Three-Dimensional Penrose Tiling Under Phason Strain Field", Chinese Phys. Lett., 10, No.8: 449–452.  (arhivirano pri WebCite)
  59. ^ Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure
  60. ^ Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. (2001), "Quasicrystals: tiling versus clustering", Phil. Mag. A 81: 2645–2651.  (arhivirano pri WebCite)
  61. ^ Rudhart C. P. Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (On the numeric simulation of cracking in quasicrystals) see page 11
  62. ^ Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. (2000), "Tilings, coverings, clusters and quasicrystals", Current Science, 78, No.1: 64–72.  (arhivirano pri WebCite)
  63. ^ Katz A. (1988), "Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings", Commun. Math. Phys. 118 (2): 263–288, doi:10.1007/BF01218580.  (arhivirano pri WebCite)
  64. ^ Culik K., Kari J. An aperiodic set of Wang cubes
  65. ^ Walther, G.; Selter, C. (1999), Mathematikdidaktik als design science, Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, ISBN 3122000601 
  66. ^ Lu A., Ebert D. S., Qiao W., Kraus M., Mora B. Interactive volume illustration using Wang cubes
  67. ^ Danzer, L. (1989), "Three-Dimensional Analogs of the Planar Penrose Tilings and Quasicrystals.", Discrete Mathematics 76: 1–7, doi:10.1016/0012-365X(89)90282-3 
  68. ^ Zerhusen A., Danzer's three dimensional tiling
  69. ^ Goodman-Strauss C. (1999), "An Aperiodic Pair of Tiles in En for all n ≥ 3", European Journal of Combinatorics 20 (5): 385–395, doi:10.1006/eujc.1998.0282  (prepis dosegljiv na here)

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]