Seznam Liejevih grup

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Seznam Liejevih grup vsebuje nekatere Liejeve grupe in z njimi povezane Liejeve algebre

Realne Liejeve grupe in njihove algebre[uredi | uredi kodo]

Legenda


Liejeva grupa opis CM \pi_0 \pi_1 UC opomba Liejeva algebra razsež./R
Rn evklidski prostor s seštevanjem N 0 0 abelova Rn n
R× neničelna realna števila z množenjem N Z2 abelova R 1
R+ pozitivna realna števila z množenjem N 0 0 abelova R 1
S1 = U(1) krožna grupa: kompleksna števila z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; D 0 Z R abelova, izomorfna za SO(2), Spin(2) in R/Z R 1
Aff(1) obrnljiva afine transformacije iz R v R. N Z2 0 rešljiva, polneposredni produkt za R+ in R× \left\{\left[\begin{smallmatrix}a & b \\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right] : a,b \in \mathbb{R}\right\} 2
H× neničelni kvaternioni z množenjem N 0 0 H 4
S3 = Sp(1) kvaternioni z absolutno vrednostjo 1, z množenjem; topološko 3-sfera D 0 0 izomorfno z SU(2) in Spin(3); dvojno pokritje za SO(3) Im(H) 3
GL(n,R) splošna linearna grupa: obratna n×n realna matrike N Z2 M(n,R) n2
GL+(n,R) n×n realne matrike s pozitivno determinanto N 0 Z  n=2
Z2 n>2
GL+(1,R) je izomorfen z R+ in je enostavno povezan M(n,R) n2
SL(n,R) specialna linearna grupa: realne matrike z determinanto 1 N 0 Z  n=2
Z2 n>2
SL(1,R) ena točka in zato kompaktna in enostavno povezana sl(n,R) n2−1
SL(2,R) Izometrije z ohranitvijo orientacije za Poincaréjeva polravnina, izomorfna z SU(1,1) ter izomorfna z Sp(2,R). N 0 Z univerzalno pokritje nima končno razsežnih predstavitev. sl(2,R) 3
O(n) ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike D Z2 simetrijska grupa sfere (n=3) ali hipersfere. so(n) n(n−1)/2
SO(n) specialna ortogonalna grupa: realne ortogonalne matrike z determinanto 1 D 0 Z  n=2
Z2 n>2
Spin(n)
n>2
SO(1) je samo ena točka in SO(2) je izomorfna s krožno grupo, SO(3) je krožna grupa sfere. so(n) n(n−1)/2
Spin(n) spinska grupa: dvojno pokrivanje za SO(n) D n>1 n>2 Spin(1) je izomorfen z Z2 in ni povezan; Spin(2) je izomorfen s krožno grupo in ni enostavno povezan so(n) n(n−1)/2
Sp(2n,R) simplektična grupa: realne simplektične matrike N 0 Z sp(2n,R) n(2n+1)
Sp(n) kompaktna simplektična grupa: kvaternionskih n×n unitarnih matrik D 0 0 sp(n) n(2n+1)
U(n) unitarna grupa: kompleksnih n×n unitarnih matrik D 0 Z R×SU(n) Za n=1: je izomorfna z S1. Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra u(n) n2
SU(n) specialna unitarna grupa: kompleksna n×n unitarne matrike z determinanto 1 D 0 0 Opomba: to ni kompleksna Liejeva grupa/algebra su(n) n2−1

Realne Liejeve algebre[uredi | uredi kodo]

Legenda:

  • S: Je algebra enostavna? (Da-D ali ne_N)
  • SS: Je algebra polenostavna? (Da-D ali ne-N)
Liejeva algebra opis S SS opombe razsež./R
R realna števila, Liejev oklepaj je nič 1
Rn Liejev oklepaj je nič n
H kvaternioni z Liejevim oklepajem kot komutatorjem 4
Im(H) kvaternioni z ničelnim realnim delom in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem, izomorfni z realnimi 3-vektorji,

z Liejevim oklepajem vektorskega produkta, je tudi izomorfna z su(2) in so(3,R)

D D 3
M(n,R) n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2
sl(n,R) kvadratne matrike s sldjo 0 in z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2−1
so(n) poševnosimetrične kvadratne realne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem. D D Izjema: so(4) je polpreprosta, toda ni preprosta. n(n−1)/2
sp(2n,R) realne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0 kjer je J običajna poševnosimetrična matrika D D n(2n+1)
sp(n) kvadratne kvaternionske matrike A, ki zadoščajo A = −A*, in Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n(2n+1)
u(n) kvadratne kompleksne matrike A, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2
su(n)
n≥2
kvadratne kompleksne matrike A s sledjo 0, ki zadoščajo A = −A* z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n2−1

Kompleksne Liejeve grupe in njihove algebre[uredi | uredi kodo]

Vpisana razsežnost je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo groupo/algebro lahko gledamo kot realno Liejevo groupo/algebro z dvakratno razsežnostjo.

Liejeva grupa opis CM \pi_0 \pi_1 UC opombe Liejeva algebra razsež./C
Cn grupna operacija je seštevanje N 0 0 abelova Cn n
C× neničelna kompleksna števila z množenjem N 0 Z abelova C 1
GL(n,C) splošna linearna grupa: obrnljiva n×n kompleksne matrike N 0 Z Zan=1: izomorfne z C× M(n,C) n2
SL(n,C) specialna linearna grupa: kompleksne matrike z determinanto

1

N 0 0 za n=1 je to samo ena točka in je zato kompaktna. sl(n,C) n2−1
SL(2,C) posebni primer SL(n,C) za n=2 N 0 0 izomorfna s Spin(3,C), izomorfna s Sp(2,C) sl(2,C) 3
PSL(2,C) projektivna specialna linearna grupa N 0 Z2 SL(2,C) izomorfna z Möbiusovo grupo, izomorfna z omejeno Lorenzovo grupo SO+(3,1,R), izomorfna z SO(3,C). sl(2,C) 3
O(n,C) ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike N Z2 kompakten za n=1 so(n,C) n(n−1)/2
SO(n,C) specialna ortogonalna grupa: kompleksne ortogonalne matrike z determinanto 1 N 0 Z  n=2
Z2 n>2
SO(2,C) je abelova in izomorfna s C×; neabelova za n>2. SO(1,C) je samo ena točka in zatokompaktnain enostavno povezana so(n,C) n(n−1)/2
Sp(2n,C) simplektična grupa: kompleksne simplektične matrike N 0 0 sp(2n,C) n(2n+1)

Kompleksne Liejeve algebre[uredi | uredi kodo]

Razsežnost, ki je podana, je razsežnost nad C. Vsako kompleksno Liejevo algebro lahko gledamo kot realno Liejevo algebro z dvakratno razsežnostjo.

Liejeva algebra opis S SS opombe razsež./C
C kompleksna števila 1
Cn Liejev oklepaj je nič n
M(n,C) n×n matrike, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem n2
sl(n,C) kvadratne matrike s trace 0, z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D n2−1
sl(2,C) posebni primer sl(n,C) z n=2 D D izomorfna z su(2) \otimes C 3
so(n,C) antisimetrične kvadratne kompleksne matrike z Liejevim oklepajem kot komutatorjem D D Izjema: so(4,C) je polenostavna, vendar ni enostavna. n(n−1)/2
sp(2n,C) kompleksne matrike, ki zadoščajo JA + ATJ = 0,

kjer je J običajna poševnosimetrična matrika

D D n(2n+1)