Sekantna metoda

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Sekantna metoda je v matematiki numerična metoda za računanje ničel funkcije.

Sekantna metoda je posplošitev metode regula falsi, ima pa tudi nekaj podobnosti s tangentno metodo

Potek metode[uredi | uredi kodo]

Iskanje ničle po sekantni metodi

Da lahko začnemo izvajati sekantno metodo, potrebujemo dva začetna približka za ničo - označimo ju x0 in x1. Pogosto ju izberemo tako, da je predznak funkcije f v točki x0 različen kot v točki x1, lahko pa tudi drugače. Nadaljevanje postopka je zelo podobno kot pri metodi regula falsi, le da ničla ne leži nujno na intervalu med obema približkoma.

  • Funkcijo f najprej aproksimirmo s sekanto. Sekanta v tem primeru pomeni premico, ki poteka skozi točki T0(x0, f(x0)) in T1(x1, f(x1)).
  • Sklepamo, da se sekanta ne razlikuje dosti od grafa funkcije, zato mora biti tudi ničla sekante dobra aproksimacija za ničlo funkcije. Ničlo sekante torej izberemo za nasledbnji približek x2.
  • Postopek potem ponavljamo: iz x1 in x2 izračunamo x3, iz x2 in x3 izračunamo x4 itd.
  • Če je funkcija primerno lepa in če sta približka x0 in x1 dovolj dobro izbrana, zaporedje xn konvergira k ničli funkcije f.

Za izračun naslednjega približka xn+1 na podlagi približkov xn in xn-1 uporabimo naslednjo iteracijsko formulo:

x_{n+1} = x_n - \frac{ f(x_n)}{\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}}

oziroma v poenostavljeni obliki:

x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n)


Izraz \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}, ki nastopa v zgornji formuli, je smerni koeficient (k) sekante. Če sta točki zelo blizu skupaj, se sekanta ne razlikuje dosti od tangente. Če v zgornji formuli ta izraz nadomesimo z odvodom (ki je enak smernemu koeficientu tangente), dobimo iteracijsko formulo za tangentno metodo.

Sekantna metoda je lahko dober nadomestek za tangentno metodo v primerih, ko odvoda funkcije ne moremo izračunati, oziroma v primerih, ko je odvod zelo zapleten.