Schwarzov trikotnik

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Schwarzov trikotnik je sferni trikotnik s pomočjo katerega lahko tlakujemo sfero.

Imenuje se po nemškem matematiku Hermanu Schwarzu (1843 – 1921).

Schwarzov trikotnik predstavimo s tremi racionalnimi števili v obliki (p q r) kjer vsako število predstavlja kot v oglišču. Vrednost n/d pomeni, da je kot v oglišču n/d-ti del polovice kroga. Vrednost 2 pomeni pravi kot. Kadar števila niso ulomki, imenujemo trikotnik Möbiusov trikotnik, ki odgovarja neprikrivajočemu tlakovanju. Simetrijska grupa se imenuje trikotniška grupa.

Prostor rešitev[uredi | uredi kodo]

Osnovna domena trikotnika (p q r) lahko obstoja v različnih prostorih, kar je odvisno od omejitev:

1/p + 1/q + 1/r > 1 : sferni
1/p + 1/q + 1/r = 1 : Evklidska ravnina
1/p + 1/q + 1/r < 1 : hiperbolična ravnina

Grafični prikaz[uredi | uredi kodo]

Schwarzov trikotnik lahko prikažemo z trikotniškim grafom. Vsak vozel predstavlja rob Schwarzovega trikotnika. Vsak rob je označen z racionalnim številom, ki odgovarja zaporedju zrcaljenja, je enak π/kot ob oglišču

Schwarz triangle on sphere.png
Schwarzov trikotnik (p q r) na sferi.
Schwarz triangle graph.png
Graf Schwarzovega tikotnika

Robovi reda 2 predstavljajo pravokotna zrcala, ki jih lahko izpustimo na tej sliki. Coxeter-Dynkinov diagram prikazuje trikotniški graf z robovi reda 2, ki so prikriti.

Za Coxeterjevo grupo lahko uporabimo enostavnejšo notacijo kot je (p q r) za ciklični graf in (p q 2)=[p, q] (za prave kote) ter (p 2 2) = [p] x [].

Seznam Schwarzovih trikotnikov[uredi | uredi kodo]

Möbiusovi trikotniki na sferi[uredi | uredi kodo]

Sphere symmetry group d2h.png
(2 2 2) ali [2,2]
Sphere symmetry group d3h.png
(3 2 2) ali [3,2]
...
Sphere symmetry group td.png
(3 3 2) ali [3,3]
Sphere symmetry group oh.png
(4 3 2) ali [4,3]
Sphere symmetry group ih.png
(5 3 2) ali [5,3]

Schwarzovi trikotniki za sfero po gostoti[uredi | uredi kodo]

V nadaljevanju so našteti Schwarzovi trikotniki sortirani po gostoti (politopski gostoti):

gostota Schwarzov trikotnik
1 (2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n)
d (2 2 n/d)
2 (3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3 (2 3/2 3), (2 5/2 5)
4 (3 4/3 4), (3 5/3 5)
5 (2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6 (3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7 (2 3 4/3), (2 3 5/2)
8 (3/2 5/2 5)
9 (2 5/3 5)
10 (3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11 (2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13 (2 3 5/3)
14 (3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16 (3 5/4 5/2)
17 (2 3/2 5/2)
18 (3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19 (2 3 5/4)
21 (2 5/4 5/2)
22 (3/2 3/2 5/2)
23 (2 3/2 5/3)
26 (3/2 5/3 5/3)
27 (2 5/4 5/3)
29 (2 3/2 5/4)
32 (3/2 5/45/3)
34 (3/2 3/2 5/4)
38 (3/2 5/4 5/4)
42 (5/4 5/4 5/4)

Trikotniki za Evklidsko ravnino[uredi | uredi kodo]

Tile 3,6.svg
(3 3 3)
Tile V488 bicolor.svg
(4 4 2)
Tile V46b.svg
(6 3 2)

Gostota 1:

  1. (3 3 3) – 60-60-60 (enakostranični trikotnik)
  2. (4 4 2) – 45-45-90 (enakokraki pravokotni trikotnik)
  3. (6 3 2) – 30-60-90

Trikotniki po gostotah:

  • gostota 0: (4 4/3 ∞), (3 3/2 ∞), (6 6/5 ∞)
  • gostota 1: (4/3 4/3 2), (4/3 4 2), (6 3/2 2)
  • gostota 2: (6/5 3 2), (6 6 3/2), (6 6/5 3)

Trikotniki za hiperbolično ravnino[uredi | uredi kodo]

Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
(7 3 2)
Order-3 octakis octagonal tiling.png
(8 3 2)
Order-4 bisected pentagonal tiling.png
(5 4 2)
Uniform dual tiling 433-t012.png
(4 3 3)
Uniform dual tiling 443-t012.png
(4 4 3)
H2checkers iii.png
(∞ ∞ ∞)
Fundamental domains of (p q r) triangles

Gostota 1:

  • (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
  • (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
  • (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
  • (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
  • (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
  • (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
  • (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
  • (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
  • ...
  • (∞ ∞ ∞)

Trikotnik (2 3 7) je najmanjši hiperbolični Schwarzov trikotnik.

Trikotnik (2 3 8) lahko tlakuje Bolzovo ploskev, ki je visoko simetrična ploskev z rodom enakim 2.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]