Rocheeva meja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pogled na krožeče tekoče telo, ki ga drži skupaj težnost, nad ravnino tira. Daleč proč od Rocheeve meje je masno telo praktično krogelno.
Bližje Rocheevi meji plimske sile deformirajo telo.
Znotraj Rocheeve meje se lastna težnost telesa ne more več upirati plimskim silam in zato telo razpade.
Delci bližje glavni tirnici krožijo hitreje od bolj oddaljenih delcev, kar je nakazano z rdečimi puščicami.
Spreminjajoča tirna hitrost razkropljene snovi sčasoma tvori obroč - planetni prstan.

Rocheeva meja [róševa mêja] (tudi Rocheeva limita [róševa limíta]) je najmanjša oddaljenost od središča planeta, kjer še lahko obstaja njegov naravni satelit ali kjer večje telo ne razpade. Če bi se neko telo znašlo znotraj nje, bi razpadlo, ker so plimske sile planeta večje od težnostnega privlaka njegovih delcev. Znotraj Rocheeve meje se bodo krožeča telesa razprševala in tvorila obroče, zunaj pa se bodo združevala. Rocheeva meja se imenuje po francoskem matematiku in astronomu Édouardu Albertu Rochu, ki je prvi izračunal to teoretično ločnico leta 1848.

Rocheeve meje ne smemo zamenjevati s pojmom Rocheevega ovala, ki se tudi imenuje po njem. Rocheev oval opisuje omejen prostor okoli enega od dveh masivnih teles, ki krožita drug okoli drugega po krožnih tirnicah. Vanj se ujame manjše telo in je zelo pomemben pri tesnih dvozvezdjih.

Rocheeva meja v Osončju[uredi | uredi kodo]

Nekateri resnični sateliti, tako naravni kot umetni, lahko krožijo znotraj Rocheeve meje, ker nanje poleg težnosti, delujejo še druge sile. Jupitrov satelit Metis in Saturnov satelit Pan sta primera naravnih satelitov, ki sta zmožna cela krožiti znotraj tekočinske Rocheeve meje. Nista razpadla, deloma zaradi nateznih sil, in deloma zato, ker dejansko nista tekoča. V takšnih primerih je možno, da telo na površju takšnega satelita odrinejo plimske sile, kar je odvisno od njegove lege glede na satelit. Plimske sile so največje vzdolž zveznice središč satelita in glavnega telesa. Manj masiven satelit kot je komet lahko razpade, če gre mimo telesa znotraj Rocheeve meje. Razpadajoča tirnica kometa Shoemaker-Levy 9 okoli Jupitra je junija 1992 potekala znotraj Rocheeve meje, kar je povzročilo, da je komet razpadel na več večjih kosov. V naslednjem kometovem obhodu leta 1994 so ti kosi trčili z Jupitrom.

Ker plimske sile znotraj Rocheeve meje prevladajo nad težnostjo, tam veliki sateliti ne morejo nastati iz manjših delov. Vsi štirje znani planetni prstani orjaških planetov v Osončju ležijo znotraj Rocheeve meje. Prstani so lahko ostanki planetovega protoplanetarnega akrecijskega diska, ki se ni združil v satelite, ali pa so nasprotno nastali ob mimohodu satelita znotraj Rocheeve meje, ki je razpadel. Plinski velikani imajo tudi vse velike satelite zunaj Rocheeve meje. Snov znotraj Rocheeve meje ne razpade, če je dovolj trdna za plimske sile, ki nanjo delujejo.

Rocheeva razprava se je ukvarjala le s trdninami ali kapljevinami, toda osnove mehanizma so iste, bodisi da so telesa trdna, kapljevinasta ali plinasta. Za satelit v tekočem stanju idealiziranega plina znaša Rocheeva meja okoli 2,44 polmera planeta. Zunanja meja Saturnovih prstanov je znotraj te meje, na oddaljenosti 2,3 polmera Saturna, najbližji satelit Mimas pa je na razdalji 3,1 polmera, torej zunaj meje. To lastnost je odkril pri proučevanju nastanka Saturnovih prstanov.

Rocheeva meja drugih teles[uredi | uredi kodo]

Pojav velja tudi za črne luknje in sredice aktivnih kvazarjev, kar pa še ni praktično potrjeno. Umetni sateliti so premajhni, da bi bile njihove plimske sile opazne.

Izračun Rocheeve meje[uredi | uredi kodo]

Rocheeva meja je odvisna od togosti satelita. Na eni strani bo tog satelit ohranil svojo obliko dokler ga plimske sile ne razbijejo na kose. Na drugi strani se močno tekočinski satelit z naraščajočimi plimskimi silami postopoma deformira in nazadje razpade.

Za tog krogelni satelit lahko vpliv togosti zanemarimo in lahko snov, ki ga sestavlja, obravnavamo le z njegovo lastno težnostjo. Tudi druge vplive lahko zanemarimo, kot je plimska deformacija glavnega telesa in vrtenje satelita. Rocheeva meja dT je tako:

 d_{T} = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} \approx  1,260R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}} \; ,

kjer je R polmer glavnega telesa, \rho_M njegova gostota in \rho_m gostota satelita.

Pri tekočinskem satelitu ga plimske sile raztegnejo in se porazdelijo, kar povzroči da še lažje razpade. Izračun se bolj zaplete in ga ni moč natančno izvršiti. Vendar obstaja približna rešitev:

 d \approx  2,423R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1} {3}} \approx 1,923 d_{T} \; ,

kar kaže, da bo tekočinski satelit razpadel že pri skoraj dvakratni oddaljenosti toge krogle enake gostote.

Večina stvarnih satelitov je nekje med obema primeroma. Notranje trenje, viskoznost in kemične vezi povzročajo, da niso ne popolnoma togi in ne popolnoma tekoči.

Togi sateliti[uredi | uredi kodo]

Približni račun za Rocheevo mejo togega telesa dT ne upošteva deformacije krogelne oblike satelita zaradi plimskih sil. Če je satelit več kot dvakrat gostejši kot glavno telo (na primer pri skalnatem naravnem satelito okoli plinskega velikana), bo Rocheeva meja ležala znotraj glavnega telesa, kar pa fizikalno ni smiselno.

Izpeljava enačbe[uredi | uredi kodo]

Da bi izračunali Rocheevo mejo, imejmo majhno maso u na površju satelita, ki je najbližje glavnemu telesu. Na to maso delujeta dve sili: težnosti privlak proti satelitu in težnostni privlak proti glavnemu telesu. Ker se satelit že nahaja prosten padu v tirnici okoli glavnega telesa, plimska sila največ prispeva k težnostnemu privlaku glavnega telesa.

Izpeljava Rocheeve meje.

Težnosti privlak F_G na maso u proti satelitu z maso m in polmerom r lahko izrazimo po Newtonovem splošnem gravitacijskem zakonu:

 F_G = \frac{\kappa mu}{r^2}

Plimska sila F_T na maso u proti glavnemu telesu s polmerom R in razdaljo d med središčema teles je:

 F_T = \frac{2 \kappa Mur}{d^3}

Rocheeva meja nastopi, ko se težnostni plivlak in plimska sila poničita:

 F_G = F_T \; ,

oziroma:

 \frac{\kappa mu}{r^2} = \frac{2\kappa Mur}{d^3}

To nam da Rocheevo mejo dT za togo telo:

 d_{T} = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}}

V enačbi ne želimo imeti polmera satelita in enačbo prepišemo z gostotami.

Maso krogle M lahko izrazimo kot:

 M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}, kjer je R polmer glavnega telesa.

In prav tako:

 m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}, kjer je r polmer satelita.

Če vstavimo izraza za masi v enačbo in pokrajšamo 4\pi/3, dobimo:

 d_{T} = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3} \; ,

kar lahko poenostavimo v Rocheevo mejo:

 d_{T} = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}

Tekočinski sateliti[uredi | uredi kodo]

Še natančnejša obravnava Rocheeve meje upošteva še deformacijo satelita. Skrajni primer bi bil tekočinski satelit plimsko zvezan, ki bi sočasno krožil v tirnici okoli planeta, kjer bi ga vsaka sila, ki deluje nanj, deformirala. V tem primeru se oblika satelita spremeni v raztegnjen sferoid.

Račun je zapleten in ga ni moč izračunati natančno. Roche je sam našel naslednji numerični pribižek Rocheeve meje:

 d \approx  2,44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3}

S pomočjo računalnika je rešitev še boljša:

 d \approx 2,423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c}{3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3}

kjer je c/R sploščenost glavnega telesa.

Rocheeve meje za nekatera telesa[uredi | uredi kodo]

Spodnja tabela prikazuje srednjo gostoto in ekvatorski polmer za izbrana telesa v našem Osončju.

glavno telo gostota (kg/m3) polmer (m)
Sonce 1400 695.000.000
Jupiter 1330 71.500.000
Zemlja 5515 6.376.500
Luna 3340 1.737.400

S pomočjo teh podatkov lahko preprosto izračunamo Rocheeve meje za toge in tekočinske satelite. Povprečna gostota kometa je približno 500 kg/m3.

Spodnja tabela podaja Rocheeve meje izražene v metrih in s polmerom glavnega telesa. Resnična Rocheeva meja za satelit je odvisna od njegove togosti in njena velikost bo nekje med Rocheevima mejama za togo in tekočinsko telo, navedenima spodaj.

telo satelit Rocheeva meja (togo) Rocheeva meja (tekočinsko)
razdalja (m) R razdalja (m) R
Zemlja Luna 9.495.665 1,49 18.261.459 2,86
Zemlja Komet 17.883.432 2,80 34.392.279 5,39
Sonce Zemlja 554.441.389 0,80 1.066.266.402 1,53
Sonce Jupiter 890.745.427 1,28 1.713.024.931 2,46
Sonce Luna 655.322.872 0,94 1.260.275.253 1,81
Sonce Komet 1.234.186.562 1,78 2.373.509.071 3,42

Če je glavno telo manj kot za polovico redkejše kot satelit, je Rocheeva meja togega telesa manj kot njegov polmer, in telesi lahko trčita že zunaj Rocheeve meje. Rocheeva meja za Sonce in Zemljo na primer kaže, da bi Zemlja trčila s Soncem še preden bi zaradi plimskih sil razpadla.

Kako blizu so naravni sateliti njihovim Rocheevim mejam v našem Osončju? Spodnja tabela podaja polmer tira za notranji satelit, deljen z lastno Rocheevo mejo, za oba primera - togega in tekočinskega. Neptunov naravni satelit Najada je lahko v resnici zelo blizu svoje dejanske Rocheeve meje.

glavno telo satelit polmer tira proti Rocheevi meji
(togo) (tekočinsko)
Sonce Merkur 104:1 54:1
Zemlja Luna 41:1 21:1
Mars Fobos 172 % 89 %
Deimos 451 % 233 %
Jupiter Metis 186 % 93 %
Adrasteja 220 % 110 %
Amalteja 228 % 114 %
Tebe 260 % 129 %
Saturn Pan 174 % 85 %
Atlas 182 % 89 %
Prometej 185 % 90 %
Pandora 185 % 90 %
Epimetej 198 % 97 %
Uran Kordelija 155 % 79 %
Ofelija 167 % 86 %
Bjanka 184 % 94 %
Kresida 192 % 99 %
Neptun Najada 140 % 72 %
Talasa 149 % 77 %
Despina 153 % 78 %
Galateja 184 % 95 %
Larisa 220 % 113 %
Pluton Haron 14:1 7,2:1

Glej tudi[uredi | uredi kodo]