Riceova porazdelitev

Riceova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=1,0).
Funkcija gostote verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=0,25).
Zbirna funkcija verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=1,0).
Zbirna funkcija verjetnosti za Riceovo porazdelitev (σ=0,25).
oznaka	$Rice(\sigma, \nu) \!$
parametri	$\nu\ge 0\,$ $\sigma\ge 0\,$
interval	$x\in [0;\infty)$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)J_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right)$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)$ kjer je $Q_1$ Marcumova Q-funkcija
pričakovana vrednost	$\sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)$
mediana
modus
varianca	$2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)$
simetrija	(komplicirana)
sploščenost	(komplicirana)
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Riceova porazdelitev je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po ameriškem začetniku teorije komunikacij in statistiku Stephenu O.Riceu (1907 - 1986).

Vsebina

$f(x|\nu,\sigma) = \frac{x}{\sigma^2}\exp\left(\frac{-(x^2+\nu^2)} {2\sigma^2}\right)I_0\left(\frac{x\nu}{\sigma^2}\right),$

kjer je

Kadar je $\nu = 0 \!$ dobimo Rayleighjevo porazdelitev.

$1-Q_1\left(\frac{\nu}{\sigma },\frac{x}{\sigma }\right)$

kjer je

$\sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)$ .

Varianca je enaka

$2\sigma^2+\nu^2-\frac{\pi\sigma^2}{2}L_{1/2}^2\left(\frac{-\nu^2}{2\sigma^2}\right)$

Sploščenost je zelo komplicirana funkcija.

Koeficient simetrije je je zelo komplicirana funkcija.

Prvih nekaj momentov je

$\mu_1= \sigma \sqrt{\pi/2}\,\,L_{1/2}(-\nu^2/2\sigma^2)$

$\mu_2= 2\sigma^2+\nu^2\,$

$\mu_3= 3\sigma^3\sqrt{\pi/2}\,\,L_{3/2}(-\nu^2/2\sigma^2)$

$\mu_4= 8\sigma^4+8\sigma^2\nu^2+\nu^4\,$

$\mu_5=15\sigma^5\sqrt{\pi/2}\,\,L_{5/2}(-\nu^2/2\sigma^2)$

$\mu_6=48\sigma^6+72\sigma^4\nu^2+18\sigma^2\nu^4+\nu^6\,$

kjer je

pri tem pa $L_\nu \ (x) \!$ pomeni Laguerrov polinom.

Kadar je $\nu =1/2\!$ velja

$L_{1/2}(x)=\,_1F_1\left( -\frac{1}{2};1;x\right)$

$=e^{x/2} \left[\left(1-x\right)J_0\left(\frac{-x}{2}\right) -xJ_1\left(\frac{-x}{2}\right) \right].$

Slučajna spremenljivka $R \!$ ima Riceovo porazdelitev $R \sim \mathrm{Rice}\left(\sigma,\nu\right)$ , če je $R = \sqrt{X^2 + Y^2}$ , kjer sta $X \sim N\left(\nu\cos\theta,\sigma^2\right)$ in $Y \sim N\left(\nu \sin\theta,\sigma^2\right)$ dve neodvisni in normalno porazdeljeni in je $\theta$ realno število.