Razširjena matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Razširjena matrika je v linearni algebri matrika, ki se dobi z dodajanjem stolpcev dani matriki. To naredimo zaradi izvajanja istih elementarnih vrstičnih operacij na obeh matrikah.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Za dani matriki  A \, in  B \,


A =
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    2 & 0 & 1 \\
    5 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
, \quad
B =
  \begin{bmatrix}
    4 \\
    3 \\
    1
  \end{bmatrix}.

se razširjena matrika piše kot 
(A|B)=
  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 3 & 2 & 4 \\
    2 & 0 & 1 & 3 \\
    5 & 2 & 2 & 1
  \end{array}\right].
.

Takšen način pisanja je zelo uporaben pri reševanju sistema linearnih enačb in pri določanju obratnih matrik.

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Določanje obratne matrike[uredi | uredi kodo]

Imamo kvadratno matriko z razsežnostjo  2 \times 2 \,


C = 
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 \\
    -5 & 0
  \end{bmatrix}.
.

Za določanje obratne matrike moramo narediti razširjeno matriko  C|I \,, kjer je  I \, enotska matrika z razsežnostjo  2 \times 2 \,. Za iskanje obratne matrike  C^{-1}\, moramo v delu, ki pripada delu za  C \,, opraviti takšne elementarne operacije, da na levi strani dobimo enotsko matriko. 
(C|I) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 3 & 1 & 0\\
    -5 & 0 & 0 & 1
  \end{array}\right]


(I|C^{-1}) = 
  \left[\begin{array}{cc|cc}
    1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
    0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
  \end{array}\right]
.

Reševanje sistema linearnih enačb[uredi | uredi kodo]

Dane imamo tri linearne enačbe


\begin{align}
x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 0 \\
3x_1 + 4x_2 + 7x_3 &= 2 \\
6x_1 + 5x_2 + 9x_3 &= 11
\end{align}

To pa odgovarja naslednjim matrikam


A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 7 \\
6 & 5 & 9
\end{bmatrix}
, \quad
B = 
\begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
11
\end{bmatrix}.

(A|B) =
  \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11
  \end{array}\right],

ali


(A|B) = 
 \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
  \end{array}\right].

To pomeni, da so rešitve zgornjega sistema linearnih enačb

 x_1 = 4 \,
 x_2 = 1 \,
 x_3 = -2 \,.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]