Razširjena matrika

Razširjena matrika je v linearni algebri matrika, ki se dobi z dodajanjem stolpcev dani matriki. To naredimo zaradi izvajanja istih elementarnih vrstičnih operacij na obeh matrikah.

Definicija

Za dani matriki $A \,$ in $B \,$

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 2 \end{bmatrix} , \quad B = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}.$

se razširjena matrika piše kot $(A|B)= \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right].$.

Takšen način pisanja je zelo uporaben pri reševanju sistema linearnih enačb in pri določanju obratnih matrik.

Zgledi

Določanje obratne matrike

Imamo kvadratno matriko z razsežnostjo $2 \times 2 \,$

$C = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}.$.

Za določanje obratne matrike moramo narediti razširjeno matriko $C|I \,$, kjer je $I \,$ enotska matrika z razsežnostjo $2 \times 2 \,$. Za iskanje obratne matrike $C^{-1}\,$ moramo v delu, ki pripada delu za $C \,$, opraviti takšne elementarne operacije, da na levi strani dobimo enotsko matriko. $(C|I) = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 1 & 0\\ -5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$

$(I|C^{-1}) = \left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15} \end{array}\right]$.

Reševanje sistema linearnih enačb

Dane imamo tri linearne enačbe

$\begin{align} x_1 + 2x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 3x_1 + 4x_2 + 7x_3 &= 2 \\ 6x_1 + 5x_2 + 9x_3 &= 11 \end{align}$

To pa odgovarja naslednjim matrikam

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 7 \\ 6 & 5 & 9 \end{bmatrix} , \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 11 \end{bmatrix}.$

$(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 7 & 2 \\ 6 & 5 & 9 & 11 \end{array}\right],$

ali

$(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ \end{array}\right].$

To pomeni, da so rešitve zgornjega sistema linearnih enačb

$x_1 = 4 \,$

$x_2 = 1 \,$

$x_3 = -2 \,$.

Zunanje povezave

• Razširjena matrika na Mathwords (v angleščini)
• Razširjena matrika na Paul's Online Math Notes (v angleščini)