Ramanujanovo praštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Ramanujanova praštevila so v teoriji števil praštevila, ki izhajajo iz dokaza Bertrandove domneve, ki ga je leta 1919 neodvisno od Čebišova podal indijski matematik Srinivasa Aiyangar Ramanujan, in se nanašajo na aritmetično funkcijo število praštevil π(x).

Ramanujan je objavil nov dokaz Bertrandove domneve. Na koncu dvostranskega članka je izpeljal posplošen rezultat, da velja:

 \pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge 1, 2, 3, 4, 5, ... \ \mathrm{za \ vse \ } x \ge 2, 11, 17, 29, 41, ...

Obrat tega izsledka je definicija Ramanujanovih praštevil in prva Ramanujanova praštevila so (OEIS A104272):

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, ...

Ramanujanova praštevila so najmanjša cela števila R_{n}, za katere velja pogoj:

 \pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge n \ \mathrm{za \ vse \ } n \ge R_{n} \,\! .

Ramanujanova praštevila so cela števila R_{n} kjer bo n praštevil med x in x/2 za vse x \ge R_{n} . Ker je R_{n} najmanjše takšno število, mora biti praštevilo: izraz  \pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) se mora povečati z drugim praštevilom.

Bertrandova domneva je poseben primer za R_{n}=2:

 \pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge 1 \ \mathrm{za \ vse \ } x \ge 2 \,\! .

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]