Ramanujanovo praštevilo

Ramanujanova praštevila so v teoriji števil praštevila, ki izhajajo iz dokaza Bertrandove domneve, ki ga je leta 1919 neodvisno od Čebišova podal indijski matematik Srinivasa Aiyangar Ramanujan, in se nanašajo na aritmetično funkcijo število praštevil π(x).

Ramanujan je objavil nov dokaz Bertrandove domneve. Na koncu dvostranskega članka je izpeljal posplošen rezultat, da velja:

$\pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge 1, 2, 3, 4, 5, ... \ \mathrm{za \ vse \ } x \ge 2, 11, 17, 29, 41, ...$

Obrat tega izsledka je definicija Ramanujanovih praštevil in prva Ramanujanova praštevila so (OEIS A104272):

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, ...

Ramanujanova praštevila so najmanjša cela števila $R_{n}$, za katere velja pogoj:

$\pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge n \ \mathrm{za \ vse \ } n \ge R_{n} \,\! .$

Ramanujanova praštevila so cela števila $R_{n}$ kjer bo n praštevil med x in x/2 za vse $x \ge R_{n}$ . Ker je $R_{n}$ najmanjše takšno število, mora biti praštevilo: izraz $\pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right)$ se mora povečati z drugim praštevilom.

Bertrandova domneva je poseben primer za $R_{n}=2$:

$\pi (x) - \pi\left({x\over 2}\right) \ge 1 \ \mathrm{za \ vse \ } x \ge 2 \,\! .$

Zunanje povezave

• Ramanujanov dokaz Bertrandove domneve (v angleščini)