Prostorska skupina

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

V kristalografiji je prostorska skupina ali kristalografska skupina ali Fedorova skupina kristala opis njegove simetrije, ki ima lahko eno od 230 možnih simetrij. V matematiki se preučujejo tudi prostorske skupine v več kot treh razsežnostih, ki se imenujejo Bieberbachove grupe.

Merodajen vir podatkov za trorazsežne prostorske skupine so Mednarodne tabele za kristalografijo.[1]

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Prostorske skupine v trorazsežnem prostoru je prvi oštevilčil Jevgraf Fjodorov (1891), kmalu za njim pa neodvisno od Fjodorova še Arthur Moritz Schönflies (1891) in William Barlow (1894). Vsa njihova številčenja so vsebovala nekaj manjših napak. Fjodorov in Schönflies sta kasneje z dopisovanjem napake odpravila, tako da je nastal pravilen seznam 230 prostorskih skupin.

17 prostorskih skupin v dvorazsežnem prostoru (ploskovne skupine), so bile poznane že nekaj stoletij pred tem.

Elementi prostorske skupine[uredi | uredi kodo]

Prostorske skupine v trirazsežnem prostoru so kombinacije 32 kristalografskih točkovnih skupin in 14 Bravaisovih mrež, ki spadajo v enega od sedmih kristalnih razredov. Prostorska skupina je torej kombinacija translacijske simetrije osnovne celice, vključno s centriranjem mreže, simetrijskih operacij točkovne skupine - rotacije (zasuk okrog rotacijske osi), refleksije (zrcaljenje na zrcalni ravnini) in inverzije (zrcaljenje skozi točko – center inverzije) ter simetrijskih operacij vijačnih osi in drsnih ravnin. Kombinacije vseh naštetih operacij dajejo skupno 230 edinstvenih prostorskih skupin, ki opisujejo vse možne kristalne simetrije.

Elementi s stalno točko[uredi | uredi kodo]

Elementi prostorske skupine s stalno točko v prostoru so rotacija, refleksija, nevtralni element in inverzija.

Translacije[uredi | uredi kodo]

Translacije tvorijo normalno abelovo podgrupo 3. reda, imenovano Bravaisova mreža. Možnih je 14 različnih Bravaisovih mrež.

Drsne ravnine[uredi | uredi kodo]

Drsna ravnina je zrcaljenje na ravnini, kateremu sledi translacija, vzporedna s to ravnino. Označena je s črkami a, b ali c, odvisno od tega, vzdolž katere osi poteka drsenje. Obstaja tudi drsenje n, ki pomeni zdrs vzdolž polovice diagonale ploskve in drsenje d, ki pomeni zdrs za četrtino diagonale ploskve ali telesne diagonale osnovne celice. Zadnji ravnina se imenuje diamantna drsna ravnina, ker je značilna za strukturo diamanta.

Vijačne osi[uredi | uredi kodo]

Vijačna os je rotacija okoli osi, kateri sledi translacija vzdolž rotacijske osi. Označena je s črko n, ki pomeni število rotacij, ki so potrebne za poln krog. Oznaka n = 3 torej pomeni, da je posamezen zasuk enak ⅓ kroga, se pravi 120º. Oznaki n se zatem kot podpisan indeks pripiše translacija vzdolž rotacijske osi, ki je izražena v delih vzporednega mrežnega vektorja. Zapis 21 pomeni, da gre za dvoštevno rotacijo in translacijo za ½ mrežnega vektorja.

Označevanje prostorskih skupin[uredi | uredi kodo]

Za označevanje prostorskih skupin obstoja najmanj osem različnih metod. Nekatere metode dopuščajo za isto prostorska skupino več različnih imen, zato se uporablja nekaj tisoč različnih imen.

  • Številka. Preglednice vseh prostorskih skupin objavlja Mednarodna zveza za kristalografijo in jim pripisuje enotne številke od 1 do 230. Številčenje je poljubno, vendar imajo skupine iz istega kristalnega sistema ali točkovne skupine zaporedne števlke.
  • Mednarodna ali Hermann-Mauguinova oznaka. Hermann-Mauguinove ali mednarodne oznake opisujejo kristalno mrežo in nekaj operatorjev. Krajša oblika zapisa, ki se kristalografiji najpogosteje uporablja, se imenuje kratka mednarodna oznaka in je običajno sestavljena iz štirih znakov. Prvi znak pomeni centriranost Bravaisove mreže (P, A, B, C, I, R ali F). Naslednji trije znaki opisujejo najpomembnejše simetrijske operacije. Oznake so enake kot v točkovnih skupinah, samo da so jim dodane drsne ravnine in vijačne osi. Primer: prostorska skupina kamene strele je P3121, kar pomeni, da ima primitivno centrirano osnovno celico s troštevno vijačno osjo in dvoštevno rotacijsko osjo. Zapis ne vsebuje eksplicitnega prikaza kristalnega sistema, čeprav je edinstven za vsako prostorsko skupino (prostorska skupina P3121 je trigonalna).
    V kratki mednarodni oznaki prvi znak (v zgornjem primeru 31) opisuje simetrijo vzdolž glavne osi (v trigonalnem sistemu je to os c), drugi znak (v zgornjem primeru 2) simetrijo okrog drugorazrednih osi (a in b), tretji znak pa simetrijo v drugih smereh. V trigonalnem kristalnem sistemu obstoja tudi prostorska skupina P3112, v kateri dvoštevni osi nista na oseh a in b, ampak sta zasukani za 30º.
    Mednarodne oznake in kratke mednarodne oznake nekaterih prostorskih skupin so se v obdobju 1932-2002 rahlo spremenile, zato imajo nekatere prostorske skupine štiri različne mednarodne oznake.
  • Hallova oznaka. Hallove oznake prostorskih skupin so zelo eksplicitne. Rotacija, translacija in oznake smeri osi so jasno ločene, centri inverzije pa eksplicitno definirani. Zgradba in oblika zapisa je še posebno primerna za računalniško generiranje informacij o simetriji. Primer: skupina s številko 3 ima oznako: P 2y (P 1 2 1), P 2 (P 1 1 2), P 2x (P 2 1 1).
  • Schönfliesova oznaka. Prostorske skupine z dano točkovno skupino so oštevilčene z 1, 2, 3... v enakem zaporedju kot njihove mednarodne številke. Za številko je kot nadpisana Schönfliesova oznaka točkovne skupine. Primer: prostorske skupine s številkami 3 do 5 iz točkovne skupine C2 imajo Schönfliesove oznake C12, C22 in C32.
  • Šubnikova oznaka.
  • Notacija orbifold in notacija fibrifold. Ime samo pove, da notacija opiše orbifold, ki je dan s kvocientom evklidovega prostora in prostorske skupine in ne z operatorji prostorske skupine. Notacijo sta uvedla sta ga John Horton Conway in William Thurston, vendar se izven matematike skorajda ne uporablja.

Razvrščanje prostorskih skupin[uredi | uredi kodo]

Za razvrščanje prostorskih skupin v razrede obstoja najmanj deset različnih načinov:

  • kristalografske prostorske skupine (v treh dimenzijah 230)
  • afine prostorske skupine (v treh dimenzijah 219)
  • aritmetični kristalni razredi (v treh dimenzijah 73)
  • geometrijski kristalni razredi (v treh dimenzijah 32)
  • kristalni sistemi (v treh dimenzijah 7)
    • kristalne mreže (v treh dimenzijah 7)
  • kristalne družine (v treh dimenzijah 6)

Conway, Delgado Friedrichs in Huson s sodelavci so leta 2001 izdelali drugačno klasifikacijo prostorskih skupin, ki je zasnovana na strukturah fibrifold na ustreznih orbifoldih.

Pregled prostorskih skupin v 3 razsežnostih[uredi | uredi kodo]

Kristalni sistem Točkovna skupina # Prostorske skupine (kratka mednarodna oznaka)
Hermann-Mauguinova oznaka Schönfliesova oznaka
Triklinski (2) 1 C1 1 P1
1 Ci 2 P1
Monoklinski (13) 2 C2 3-5 P2, P21, C2
m Cs 6-9 Pm, Pc, Cm, Cc
2/m C2h 10-15 P2/m, P21/m, C2/m, P2/c, P21/c, C2/c
Ortorombski (59) 222 D2 16-24 P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121
mm2 C2v 25-46 Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2
mmm D2h 47-74 Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma, Cmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, Ccce, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma
Tetragonalni (68) 4 C4 75-80 P4, P41, P42, P43, I4, I41
4 S4 81-82 P4, I4
4/m C4h 83-88 P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a
422 D4 89-98 P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122
4mm C4v 99-110 P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc, I4mm, I4cm, I41md, I41cd
42m D2d 111-122 P42m, P42c, P421m, P421c, P4m2, P4c2, P4b2, P4n2, I4m2, I4c2, I42m, I42d
4/mmm D4h 123-142 P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd
Trigonalni (25) 3 C3 143-146 P3, P31, P32, R3
3 S6 147-148 P3, R3
32 D3 149-155 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32
3m C3v 156-161 P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c
3m D3d 162-167 P31m, P31c, P3m1, P3c1, R3m, R3c,  
Heksagonalni (27) 6 C6 168-173 P6, P61, P65, P62, P64, P63
6 C3h 174 P6
6/m C6h 175-176 P6/m, P63/m
622 D6 177-182 P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322
6mm C6v 183-186 P6mm, P6cc, P63cm, P63mc
6m2 D3h 187-190 P6m2, P6c2, P62m, P62c
6/mmm D6h 191-194 P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc
Kubični (36) 23 T 195-199 P23, F23, I23, P213, I213
m3 Th 200-206 Pm3, Pn3, Fm3, Fd3, Im3, Pa3, Ia3
432 O 207-214 P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132
43m Td 215-220 P43m, F43m, I43m, P43n, F43c, I43d
m3m Oh 221-230 Pm3m, Pn3n, Pm3n, Pn3m, Fm3m, Fm3c, Fd3m, Fd3c, Im3m, Ia3d

Opombe[uredi | uredi kodo]

Ravnina e je dvojna drsna ravnina, po kateri pride do drsenja v dveh različnih smereh. Pojavlja se v petih prostorskih skupinah, ki spadajo v ortorombski kristalni sistem s centrirano mrežo. Uporaba oznake e je postala uradna leta 2002.[1]

Kristalno mrežo se določi po naslednjem postopku. Če kristalni sistem ni trigonalen, so vse kristalne mreže enakega tipa. Če je sistem trigonalen, je kristalna mreža heksagonalna, dokler je prostorska skupina ena od sedmih skupin v romboedričnem mrežnem sistemu, ki je sestavljen iz sedmih trigonalnih prostorskih skupin v zgornji preglednici, katerih imena se začenjajo s črko R. (Izraz romboedrski se včasih uporablja tudi kot alternativno ime za celoten trigonalni sistem). Sistem heksagonalnih kristalnih mrež je bolj obsežen kot heksagonalni kristalni sistem, ker vsebuje tudi 18 skupin trigonalnega kristalnega sistema, ki se razlikujejo od sedmih, katerih imena se začenjajo s črko R.

Bravaisovo mrežo prostorske skupine se določi iz sistema kristalnih mrež skupaj z začetno črko njenega imena, ki je za neromboedrske skupine enaka P (primitivna), I (telesno centrirana), F (ploskkobno centrirana) ali C (nasprotno centrirana mreža).

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Hahn, Th. (2002), Hahn, Theo, ed., International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry, A (5th ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-7923-6590-7

Viri[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]