Problem osmih dam

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Chess zhor 26.png
Chess zver 26.png
a8 b8 c8 d8 e8 f8 g8 h8
a7 b7 c7 d7 e7 f7 g7 h7
a6 b6 c6 d6 e6 f6 g6 h6
a5 b5 c5 d5 e5 f5 g5 h5
a4 b4 c4 d4 e4 f4 g4 h4
a3 b3 c3 d3 e3 f3 g3 h3
a2 b2 c2 d2 e2 f2 g2 h2
a1 b1 c1 d1 e1 f1 g1 h1
Chess zver 26.png
Chess zhor 26.png
Ena od 12-ih osnovnih rešitev

Problém ôsmih dám je problem šahovskega tipa in zahteva postavitev osmih dam na šahovnici 8 × 8, tako da druga druge ne napadajo. Pri tem veljajo običajna pravila gibanja dame. Barva figure je nepomembna, tako da lahko vsaka figura napade katerokoli drugo. Ali drugače rečeno, dve dami ne moreta hkrati biti v isti vrstici, stolpcu ali diagonali.

Zgodovina[uredi | uredi kodo]

Skozi čas je problem obravnavalo veliko matematikov. Najbolj znani med njimi so Gauss, Pólya in Lucas. Problem je poseben primer splošnejšega problema, ki zahteva rešitve postavitev n dam na šahovnici n × n.

Zanimivo je, da veliko ljudi pripisuje problem in njegovo rešitev Gaussu. Problem je dejansko prvi predlagal nemški šahist Max Bezzel leta 1848 v časopisu Berliner Schachzeitung. S poskušanjem je do prvih 60 rešitev prišel Franz Nauck in jih 1. junija 1850 objavil v časopisu Leipziger Illustrierte Zeitung. Nauck (sicer slep od rojstva) je tudi posplošil problem na n dam in šahovnico n × n. Gauss se je po Nauckovi objavi rešitev lotil problema in sam našel le 72 rešitev, ki jih je zapisal 2. septembra 1850 v pismu svojemu prijatelju, astronomu Schumachru. Tedaj še niso poznali postopkov reševanja in s preskušanjem se da nalogo rešiti v dobrih desetih urah. Nauck je 21. septembra 1850 v isti reviji objavil vseh 92 rešitev. Tak potek dogodkov je ugotovil nemški raziskovalec problemov iz razvedrilne matematike V. Arens. Leta 1874 je S. Günther predložil postopek reševanja s pomočjo determinant, angleški matematik Glaisher pa je še dodelal ta pristop. Glaisher je tudi prvi dokazal, da obstaja natanko 92 rešitev.

Problem se je v 1990. znašel v razširjeni računalniški igri The 7th Guest.

Rešitve[uredi | uredi kodo]

Problem osmih dam ima 92 različnih rešitev, oziroma 12 rešitev, če upoštevamo še simetrijske operacije, kot so zasuk in zrcaljenje šahovnice v skladu z Burnsideovo lemo (Pólyev izrek).

Osnovne rešitve urejene leksikografsko so:

  1. 1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4
  2. 1, 6, 8, 3, 7, 4, 2, 5
  3. 2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5
  4. 2, 5, 7, 1, 3, 8, 6, 4
  5. 2, 5, 7, 4, 1, 8, 6, 3
  6. 2, 6, 1, 7, 4, 8, 3, 5
  7. 2, 6, 8, 3, 1, 4, 7, 5
  8. 2, 7, 3, 6, 8, 5, 1, 4
  9. 2, 7, 5, 8, 1, 4, 6, 3
  10. 3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6
  11. 3, 5, 8, 4, 1, 7, 2, 6
  12. 3, 6, 2, 5, 8, 1, 7, 4

Rešitve splošnega problema[uredi | uredi kodo]

Splošni problem n dam ima število rešitev za n ≥ 1 (OEIS A000170):

1, 0, 0, 2, 10, 4, 40, 92, 352, 724, 2680, 14200, 73712, 365596, 2279184, 14772512, 95815104, 666090624, 4968057848, 39029188884,
314666222712, 2691008701644, 24233937684440, ...

Šahovnici za n = 2, 3 nimata rešitev.

Število osnovnih rešitev splošnega problema za n ≥ 1 (OEIS A002562):

1, 0, 0, 1, 2, 1, 6, 12, 46, 92, 341, 1787, 9233, 45752, 285053, 1846955, 11977939, 83263591, 621012754, 4878666808,
39333324973, 336376244042, 3029242658210, ...
n različne
rešitve
(A000170)
 
C_{2}
(A032522)
 
D_{2} (90°)
A033148)
osnovne
rešitve
(A002562)
1 1 1 1 1
2 0 0 0
3 0 0 0
4 2 2 2 1
5 10 2 2 2
6 4 4 1
7 40 8 6
8 92 4 0 12
9 352 16 0 46
10 724 12 92
11 2.680 48 341
12 14.200 80 8 1.787
13 73.712 136 8 9.233
14 365.596 420 45.752
15 2.279.184 1.240 285.053
16 14.772.512 3.000 64 1.846.955
17 95.815.104 8.152 128 11.977.939
18 666.090.624 18.104 83.263.591
19 4.968.057.848 44.184 621.012.754
20 39.029.188.884 144.620 480 4.878.666.808
21 314.666.222.712 375.664 704 39.333.324.973
22 2.691.008.701.644 1.250.692 336.376.244.042
23 24.233.937.684.440 3.581.240 3.029.242.658.210
24 227.514.171.973.736 11.675.080 3.328 28.439.272.956.934
25 2.207.893.435.808.352 34.132.592 3.264 275.986.683.743.434
26 22.317.699.616.364.044 115.718.268 2.789.712.466.510.289
27  ? 320.403.024  ?

Splošni obrazec za točno število rešitev ni znan. Rešitev za n = 26 je 11. julija 2009 izračunala skupina Queens(AT)TUD s Tehniške univerze v Dresdnu.[1] Njen rezultat so potrdili 15. septembra istega leta s paralelnim programskim sistemom MC# na dveh superračunalnikih.[2]

Sorodni problemi[uredi | uredi kodo]

  • Uporaba drugih figur
Na šahovnico 8 × 8 lahko postavimo 32 neodvisnih skakačev, 14 lovcev ali 16 kraljev. Lahko uporabimo tudi pravljične šahovske figure, na primer, amazonke.
  • Problem amazonk.
Amazonka (imenovana tudi superdama) je figura, ki se giblje kot dama in kot skakač. Postaviti je možno deset amazonk na šahovnico 10 × 10, da druga druge ne napadajo, na točno štiri načine. Na manjših šahovnicah ne obstaja rešitev problema z amazonkami.
  • Nestandardne šahovnice
Pólya je raziskoval problem n dam na šahovnici v obliki svitka. Raziskovali so tudi druge oblike. Na primer trirazsežno šahovnico.
  • Prevlada
Za dano šahovnico n × n je potrebno najti število prevlade, ki pomeni najmanjše število dam (ali drugih figur), da so napadena vsa polja. Pri tem velja, da je polje na katerem stoji figura že napadeno. Glej problem petih dam.
Postavitev devetih dam in enega kmeta, da se dame med sabo ne napadajo. Posplošitev, ki trenutno ni znana je, šahovnica n × n in m > n dam. Rešitev išče najmanjše število kmetov, da se spet dame ne bodo napadale.
Postavitev m dam in m skakačev na šahovnico n × n, da se figure med seboj ne napadajo.
Paul B. Muljadi je pokazal, da če ostevilčimo 64 polj šahovnice zaporedoma od 1 do 64, lahko vse različne rešitve prikažemo z 92 celoštevilskimi zaporedji, kjer položaj dame predstavlja člen.
Ena rešitev je na primer
6,9,21,26,40,43,55,60\;
Ker mora vsaka dama biti v natančno eni vrstici ali stolpcu (in diagonali) in ker je enako število dam kot je vrstic in stolpcev, bo vsota takšnega zaporedja vedno ista. V zgornjem zaporedju bo vsota 8 + Σ(1..7) + 8 · Σ(1..7) = 260, kar predstavlja magično konstanto za problem osmih dam za vseh 92 različnih rešitev.
Seveda lahko rešitve zapišemo še drugače. Na primer za zgornjo rešitev s številčnim nizom:
6,1,5,2,8,3,7,4 \; ,
ali v algebrskem šahovskem zapisu:
a6, b1, c5, d2, e8, f3, g7, h4,
ali z matriko:
 \begin{bmatrix} 
 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\
 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\
 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\
 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\
 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\
 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\\
 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\
\end{bmatrix} \; .
Muljadi je tudi odkril, da je magična konstanta problema osmih dam enaka kot magična konstanta magičnih kvadratov reda 8.

Problem osmih dam kot zgled uporabe različnih algoritmov[uredi | uredi kodo]

Problem osmih dam je dober zgled preprostega vendar ne trivialnega problema. Zaradi tega se velikokrat uporablja kot zgled za različne programerske postopke, od katerih velja omeniti netradicionalne pristope kot so logično programiranje ali genetski algoritmi.

Največkrat se uporablja kot zgled problema, ki se ga da rešiti z rekurzivnim algoritmom tako, da se problemu n dam dodaja posamezna dama k poljubni rešitvi problema (n-1) dam. Z matematično indukcijo se tako pride do problema 0 dam, kar predstavlja prazno šahovnico.

Zgledi programov[uredi | uredi kodo]

Zgled programa v pascalu[uredi | uredi kodo]

Spodnji program rešuje nalogo v programskem jeziku pascal s pomočjo rekurzije. Izpiše vseh 92 rešitev.

 program osemdam(output);
 var st, j : integer;
     a : array [ 1.. 8] of boolean;
     b : array [ 2..16] of boolean;
     c : array [-7.. 7] of boolean;
     x : array [ 1.. 8] of integer;
   procedure try(i:integer);
   var j,k:integer;
   begin
     for j:=1 to 8 do begin
       if a[j] and b[i+j] and c[i-j]
       then begin
         x[i] := j;
         a[j] := false; b[i+j] := false; c[i-j] := false;
         if i<8 then {rekurzivni klic}
           try(i+1)
         else
         begin {izpis resitve}
           inc(st); write(st:5,'. ');
           for k:=1 to 8 do write(x[k]); writeln;
         end;
         a[j] := true; b[i+j] := true; c[i-j] := true;
       end; {if}
     end; {for}
   end; {try}
  begin {glavni program}
    for j:= 1 to 8  do a[j]:=true;
    for j:= 2 to 16 do b[j]:=true;
    for j:= -7 to 7 do c[j]:=true;
    st:=0;
    try(1);
  end.

Vir: N. Wirth, Računalniško programiranje I, Ljubljana, 1981.

Zgled programa v Q[uredi | uredi kodo]

Algoritem za reševanje problema n dam, zapisan v Q, ki uporablja postopek vračanja (backtracking):

queens N        = search N 1 1 [];

search N I J P  = write P || writes "\n" if I>N;
                = search N (I+1) 1 (P++[(I,J)]) || fail if safe (I,J) P;
                = search N I (J+1) P if J<N;
                = () otherwise;

safe (I1,J1) P  = not any (check (I1,J1)) P;

check (I1,J1) (I2,J2)
                = (I1=I2) or else (J1=J2) or else
                  (I1+J1=I2+J2) or else (I1-J1=I2-J2);

Zgled programa za HP-41[uredi | uredi kodo]

Glej HP-41.

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ "Queens@TUD" (v angleščini). Pridobljeno dne 2011-08-31. 
  2. ^ "MC#" (v angleščini). Pridobljeno dne 2011-08-31. 

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]

Povezave do rešitev[uredi | uredi kodo]