Pritisnjena krožnica

Pritisnjena krožnica.

Pritisnjena krožnica (tudi oskulacijska krožnica) je v diferencialni geometriji krivulj gladka ravninska krivulja, ki je v dani točki $p \,$ na krivulji definirana kot krožnica, ki gre skozi $p \,$ in še skozi dodatno točko, ki je infinitezimalno blizu.

Središče pritisnjenega kroga v dani točki krivulje se imenuje središče ukrivljenosti. Polmer ukrivljenosti v tej točki pa polmer ukrivljenosti.

Matematični opis

Naj bo $y(s) \,$ parametrična oblika enačbe krivulje, pri tem pa je $s \,$ dolžina loka. To določa enotski tangentni vektor $T \,$, enotski pravokotni vektor $N \,$, ukrivljenost $k (s) \,$ in polmer ukrivljenosti v vsaki točki:

$T(s)=\gamma'(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)=\frac{1}{\left|k(s)\right|}$.

Predpostavimo, da je $P \,$ točka na krivulji $C \,$, kjer je k ≠ 0. Pripadajoče središče ukrivljenosti je v točki $Q \,$ na razdalji $R \,$ vzdolž normalnega vektorja $N \,$, če je k pozitiven in v obratni smeri, če je negativen. Krožnica s središčem v $Q \,$ in polmerom $R \,$ se imenuje pritisnjen krog na krivuljo $C \,$ v točki $P \,$.

Lastnosti

Označimo z $S \,$ pritisnjeno krožnico, s $C \,$ pa ravninsko krivuljo, potem lahko za regularno točko $P \,$ rečemo, da ima naslednje lastnosti:

• krožnica $S \,$ teče skozi točko $P \,$
• krožnica $S \,$ in krivulja $C \,$ imata skupno tangentno premico v točki $P \,$ in tudi skupno normalo (pravokotnico)
• v bližini točke $P \,$ razdalja med točkama na krivulji in na krožnici v smeri normale pada s tretjo potenco ali višjo razdalje do $P \,$ v smeri tangente.

Glej tudi

• dotik (matematika)
• pritisnjena krivulja
• oskulacijski tir

Zunanje povezave

• Pritisnjen krog na MathWorld (v angleščini)
• Pritisnjen krog v National Curve Bank (v angleščini)
• Pritisnjen krog (v angleščini)
• Krivulje v ravnini (v angleščini)