Premaknjena matrika

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Premaknjena matrika je binarna matrika, ki ima enice na naddiagonali (leži tik nad glavno diagonalo) ali na poddiagonali (leži tik pod glavno diagonalo), povsod drugod pa ničle. Če ima enice na naddiagonali, je to zgornja premaknjena matrika. Zanjo velja

 U_{ij} = \delta_{i+1,j}\,

kjer je

Kadar pa so enice na poddiagonali

  L_{ij} = \delta_{i,j+1}\,

imamo spodnjo premaknjeno matriko.

Če transponiramo spodnjo premaknjeno matriko, dobimo zgornjo premaknjeno matriko in obratno.

Množenje matrike  A \, na levi strani s spodnjo premaknjeno matriko nam da matriko, v kateri se premaknejo elementi navzdol za eno mesto, na vrhu pa se pojavijo ničle. Množenje z desne strani s spodnjo premaknjeno matriko nam da matriko, ki ima elemente premaknjene v levo. Podobni so rezultati pri množenju z zgornjo premaknjeno matriko.

Vse premaknjene matrike so nilpotentne. Kadar potenciramo matriko  n \times n \, s potenco  n \,, dobimo ničelno matriko.


Primer[uredi | uredi kodo]


U_5=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \quad
L_5=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Če je  L \, spodnja premaknjena matrika in  U \, zgornja premaknjena matrika z razsežnostjo  n \times n \,, potem za obe vrsti matrik velja:

Primeri[uredi | uredi kodo]


S=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.


Iz tega dobimo 
SA=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 2 & 2 & 1
\end{pmatrix}, \quad AS=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}.

Lahko bi uporabili še drugačne zmnožke. Takšen primer je premik navzgor in nato proti levi vzdolž glavne diagonale, ki ga dobimo s pomočjo množenja S^{T}AS \,


S^{T}AS=\begin{pmatrix}
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}.

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]