Pitagorejsko praštevilo

Pitagorejsko praštevilo 5 in njegov kvadratni koren sta hipotenuzi pravokotnih trikotnikov s celoštevilskimi katetami – (3, 4) in (2, 1).

Pitagoréjsko práštevílo je v matematiki praštevilo oblike:

$4n+1;\quad n\geq 1\!\,.$

To so ravno praštevila, ki so hipotenuze pitagorejskega trikotnika. Število 5 je na primer pitagorejsko praštevilo – ${\sqrt {5}}\!\,$ je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 2 in 1, 5 pa je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 3 in 4. Prva pitagorejska praštevila so (OEIS A002144):

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Po Dirichletovem izreku o aritmetičnih zaporedjih je to celoštevilsko zaporedje neskončno.

Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov (Fermat-Eulerjev izrek) pravi, da se lahko takšna praštevila izrazi enolično (do reda) kot vsote dveh kvadratov, in, da se na ta način ne da izraziti nobenega drugega praštevila razen $2=1^{2}+1^{2}\!\,$. Tako so ta praštevila (in 2) norme Gaussovih celih števil, druga praštevila pa ne.

Kvadratni recipročnostni zakon pravi, da če sta $p\!\,$ in $q\!\,$ lihi praštevili, je vsaj eno od njiju pitagorejsko, in je $p\!\,$ kvadratni ostanek mod $q\!\,$, če in samo če je $q\!\,$ kvadratni ostanek mod $p\!\,$. Na drugi strani, če $p\!\,$ ali $q\!\,$ nista pitagorejski, je $p\!\,$ kvadratni ostanek mod $q\!\,$, če in samo če $q\!\,$ ni kvadratni ostanek mod $p\!\,$. −1 je kvadratni ostanek mod $p\!\,$, če in samo če je $p\!\,$ pitagorejsko praštevilo (ali 2).

Glej tudi

• pitagorejska trojica