Pitagorejsko praštevilo

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Pitagorejsko praštevilo 5 in njegov kvadratni koren sta hipotenuzi pravokotnih trikotnikov s celoštevilskimi katetami - (3,4) in (2,1).

Pitagoréjsko práštevílo je v matematiki praštevilo oblike:

 4n + 1; \quad n \ge 1 \!\, .

To so ravno praštevila, ki so hipotenuze pitagorejskega trikotnika. Število 5 je na primer pitagorejsko praštevilo – \sqrt{5} je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 2 in 1, 5 pa je hipotenuza pravokotnega trikotnika s stranicama 3 in 4. Prva pitagorejska praštevila so (OEIS A002144):

5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, …

Po Dirichletovem izreku o aritmetičnih zaporedjih je to celoštevilsko zaporedje neskončno.

Fermatov izrek o vsotah dveh kvadratov (Fermat-Eulerjev izrek) pravi, da lahko takšna praštevila izrazimo enolično (do reda) kot vsote dveh kvadratov, in, da na ta način ne moremo izraziti nobenega drugega praštevila razen 2=1^{2}+1^{2}. Tako so ta praštevila (in 2) norme Gaussovih celih števil, druga praštevila pa ne.

Kvadratični reciprocitetni zakon pravi, da če sta p in q lihi praštevili, je vsaj eno od njiju pitagorejsko, in je p kvadratni ostanek mod q, če in samo če je q kvadratni ostanek mod p. Na drugi strani, če p ali q nista pitagorejski, je p kvadratni ostanek mod q, če in samo če q ni kvadratni ostanek mod p. −1 je kvadratni ostanek mod p, če in samo če je p pitagorejsko praštevilo (ali 2).

Glej tudi[uredi | uredi kodo]