Paretova porazdelitev

Paretova porazdelitev
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev z xm=1.
Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev.
oznaka	$Pareto(x_m, k) \!$
parametri	$x_\mathrm{m}>0\,$ parameter merila (realno število) $k>0\,$ parameter oblike (realno število)
interval	$x \in [x_\mathrm{m}; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{k\,x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}}\text{ za }x>x_m\!$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	$1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k \!$
pričakovana vrednost	$\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\text{ za }k>1\,$
mediana	$x_\mathrm{m} \sqrt[k]{2}$
modus	$x_\mathrm{m}\,$
varianca	$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\text{ za }k>2\,$
simetrija	$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\text{ za }k>3\,$
sploščenost	$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\text{ }k>4\,$
entropija	$\ln\left(\frac{k}{x_\mathrm{m}}\right) - \frac{1}{k} - 1\!$
funkcija generiranja momentov (mgf)	$k(-x_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-x_\mathrm{m}t)\text{ za}t<0\,$
karakteristična funkcija	$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

Paretova porazdelitev [parétova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev. Imenuje se po italijanskem ekonomistu Vilfredu Paretu (1848 - 1923). Uporablja se na področju socialnih, geofizikalnih in zavarovalniških ved. Zunaj ekonomskih ved se pogosto imenuje tudi Bradfordova porazdelitev.

Definicija

Če je X slučajna spremenljivka, ki se podreja Paretovi porazdelitvi, potem je verjetnost, da bo zavzela vrednost večjo od x enaka:

$P(X>x) = \begin{cases} \left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k & \text{za }x\ge x_\mathrm{m}, \\ 1 & \text{za } x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$

kjer je

• $x_m \!$ minimalna vrednost, ki jo lahko zavzame slučajna spremenljivka X
• $k \!$ pa je pozitivno celo število.

Uporaba

Paretova porazdelitev se uporablja na mnogih področjih :

• velikost ljudkih naselbin (mesta, vasi)
• velikost datotek, ki uporabljajo TCP (Transmission Control Protocol) protokol na internetu (veliko manjših datotek, malo velikih).
• skupine delcev v Bose-Einsteinovem kondenzatu blizu absolutne ničle.
• velikost delcev peska
• velikost meteoritov
• pogorela področja v gozdnih požarih

itd.

Lastnosti

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za Paretovo porazdelitev je

$f_X(x)= \begin{cases} k\,\dfrac{x_\mathrm{m}^k}{x^{k+1}} & \text{za }x > x_\mathrm{m}, \\[12pt] 0 & \text{za } x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$.

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka

$F_X(x) = \begin{cases} 1-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^k & \text{za } x \ge x_\mathrm{m}, \\ 0 & \text{za }x < x_\mathrm{m}. \end{cases}$.

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je enaka

$\frac{k\,x_\mathrm{m}}{k-1}\text{ za }k>1\,$.

Varianca

Varianca je enaka

$\frac{x_\mathrm{m}^2k}{(k-1)^2(k-2)}\text{ za }k>2\,$.

Sploščenost

Sploščenost je

$\frac{6(k^3+k^2-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}\text{ za }k>4\,$.

Koeficient simetrije

Koeficient simetrije je enak

$\frac{2(1+k)}{k-3}\,\sqrt{\frac{k-2}{k}}\text{ za }k>3\,$.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov je

$k(-x_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-x_\mathrm{m}t)\text{ za} t<0\,$

kjer je

• $\Gamma(a, x) \!$ nepopolna funkcija gama.

Karakteristična funkcija

Karakteristična funkcija je

$k(-ix_\mathrm{m}t)^k\Gamma(-k,-ix_\mathrm{m}t)\,$

kjer je

• $\Gamma(a, x) \!$ nepopolna funkcija gama.

Povezava z Diracovo delta funkcijo

Ko je $k \to \infty\!$, se porazdelitev približuje vrednosti $\delta(x-x_m) \!$, kjer je $\delta \!$ Diracova delta funkcija.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Slučajna spremenljivka $X \!$ naj bo porazdeljena po Paretovi porazdelitvi s parametroma $x_m \!$ in $\alpha \!$ tako, da velja

$Y = \log\left(\frac{X}{x_\mathrm{m}}\right).$.

V tem primeru je slučajna spremenljivka $Y \!$ porazdeljena po eksponentni porazdelitvi tako, da je verjetnost, da bo spremenljivka Y zavzela vrednost večjo od y enaka

$P(Y > y) = e^{-k y}. \,$

Zunanje povezave

• Paretova porazdelitev na MathWorld (v angleščini)
• Opis Paretove porazdelitve (v angleščini)
• Modeliranje porazdelitve premoženja (v slovenščini)

Glej tudi

• verjetnostna porazdelitev
• seznam verjetnostnih porazdelitev