Paraboloid

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Rotacijski (krožni) paraboloid
Hiperbolični paraboloid

Paraboloid je kvadrična ploskev ali ploskev drugega reda. Presek vzporeden s koordinatno osjo je parabola.

Znani sta dve obliki paraboloidov v odvisnosti od oblike presekov

Eliptični paraboloid prikažemo z enačbo [1]


\frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.

kjer je

Obe kostanti določata nivo krivulje v ravninah x-z in y-z.

Hiperbolični paraboloid (ne zamenjujmo ga z hiperboloidom) pa s podobno enačbo [1]


\frac{z}{c} = \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2}
.

Rotacijski paraboloid, ki ima polmer a na višini h, je dan parametrično z [2]

 x(u, \nu) = a \sqrt {u \over h} \cos \nu
 y(u, \nu) = a \sqrt {u \over h} \sin \nu
 z(u, \nu) = u

kjer je

  •  u \ge 0
  •  \nu \epsilon [0, 2 \pi)
Hiperbolični paraboloid je dvojno premonosna ploskev in zaradi tega lahko uporabimo za konstrukcijo sedlaste strehe iz ravnih elementov.

Lastnosti[uredi | uredi kodo]

Kadar je  a = b postane eliptični hiperboloid rotacijski hiperboloid. To je ploskev, ki jo da okoli svoje osi vrteča se parabola. To je tudi oblika, ki jo imajo parabolični reflektorji, ki se uporabljajo za zrcala in antene. Vzporedni žarki, ki padajo na paraboloid, se zberejo v gorišču. To se uporablja v paraboličnih antenah.

Hiperbolični paraboloid je dvojno premonosna ploskev. Takšna ploskev vsebuje dve družini mimobežnih premic. Vsaka družina je vzporedna skupni ravnini, vendar niso medsebojno vzporedne.

Ukrivljenost[uredi | uredi kodo]

Eliptični paraboloid, ki ga parametriziramo kot

 \vec \sigma(u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} + {v^2 \over b^2}\right) .

Paraboloid ima Gaussovo ukrivljenost enako

 K(u,v) = {4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2} .

Njegova srednja ukrivljenost pa je

 H(u,v) = {a^2 + b^2 + {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}} .

Obe sta vedno pozitivni. Imata največjo vrednost v izhodišču.

Hiperbolični paraboloid, ki ga lahko parametriziramo kot

 \vec \sigma (u,v) = \left(u, v, {u^2 \over a^2} - {v^2 \over b^2}\right)

ima Gaussovo ukrivljenost enako

 K(u,v) = {-4 \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^2} .

Njegova srednja ukrivljenost pa je

 H(u,v) = {-a^2 + b^2 - {4 u^2 \over a^2} + {4 v^2 \over b^2} \over a^2 b^2 \left(1 + {4 u^2 \over a^4} + {4 v^2 \over b^4}\right)^{3/2}}. .

Prostornina[uredi | uredi kodo]

Prostornina paraboloida z višino h je [2]

 P = \pi \int_{0}^{h}{{a^2z \over h}}dz = {1 \over 2} \pi a^2 h

Površina[uredi | uredi kodo]

Površina paraboloida z višino h je [2]

 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{h} dS = { \pi a \over 6h^2}[(a^2 + 4h^2)^{3 \over 2} -a^3]  .

Uporaba[uredi | uredi kodo]

Površina tekočine v vrtečem se valju tvori paraboloid. To se izkorišča v teleskopih s tekočino. Ti teleskopi se zgrajeni tako, da se vrti velikanska posoda, napolnjena s tekočino, ki odbija vpadle svetlobne žarke (na primer živo srebro).

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ 1,0 1,1 Thomas, George B.; Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordiano (2005). Thomas' Calculus 11th ed. Pearson Education, Inc. str. 892. ISBN 0-321-18558-7. 
  2. ^ 2,0 2,1 2,2 Paraboloid na MathWorld

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]