Nožiščna krivulja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje
Konstrukcija nožiščne krivulje, pripadajoče krivulji C glede na točko P. Tangenta na krivuljo C je obarvana z rdečo barvo. Dotikališče tangente s krivuljo C je označeno z R.

Nožiščna krivulja (včasih tudi pedala) je v diferencialni geometriji krivulj krivulja, ki jo dobimo iz druge dane krivulje.

Ime ima po nožišču, kar je presečišče krivulje in pravokotnice na krivuljo. Enako ime se uporablja tudi za presečišče pravokotnice na ploskev in ploskve.

Definicija[uredi | uredi kodo]

Nožiščno krivuljo dobimo iz dane krivulje tako, da izberemo stalno točko  P \, (nožiščna točka tudi pol). Dana krivulja naj bo označena s  C \,. V poljubni točki  R \, na krivulji  C \, potegnimo tangento  T \,. V tem primeru lahko določimo točko  X \, na  T \,, ki je enaka  P \, ali pa tvori skupaj s točko  P \, pravokotnico na  T \,. Nožiščna krivulja je geometrijsko mesto točk  X \, za vse  R \, na krivulji  C \,. (glej sliko na desni)

Podobno je točka  Y \,, ki leži na pravokotnici na  C \, v točki  R \, tako, da v pravokotniku  PXRY \, (lahko je tudi degeneriran) točke  Y \, tvorijo geometrijsko mesto točk krivulje, ki jo imenujemo antinožiščna krivulja. To je po nastanku nožiščni krivulji podobna krivulja, ki je nastala tako, da namesto tangente v definiciji uporabimo pravokotnico (normalo).

Enostavneje to povemo, da je nožiščna krivulja geometrijsko mesto točk nožišč (presečišče pravokotnice in krivulje) pravokotnic od stalne točke z vsemi tangentami na dano krivuljo.

Paskalov polž — nožiščna krivulja krožnice.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Kadar je krivulja  C \, krožnica, je nastala krivulja Pascalov polž, zanj pa lahko rečemo, da je

  • nožniščna krivulja krožnice
  • envelopa krožnic, katere premer ima eno končno točko fiksirano, druga točka pa teče po krožnici
  • envelopa krožnic skozi stalno točko, njihova središča pa tečejo po krožnici
  • krivulja ruleta, ki nastane s krožnico, ki drsi naokoli po krožnici z enakim polmerom


Nožiščna krivulja elipse

Opis nožniščne krivulje[uredi | uredi kodo]

Naj bo

\vec{v} = P-R \,

vektor s komponentama

\vec{v} = \vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_\perp

kjer je

vektorja  \vec v \, glede na krivuljo.

Komponenta  \vec{v}_{\parallel} \, je vektor od  R \, do  X \,.

Če označimo parameter krivulje s  c \,, potem je parametrična oblika

t\mapsto c(t)+{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)

Parametrično nožniščno krivuljo s pedalno točko v (0,0) lahko definiramo kot

X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}

Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}.

Antinožiščno krivuljo pa določimo z

t\mapsto P-{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t).

Za isto nožiščno točko je antinožiščna krivulja enaka nožniščni krivulji evolute dane krivulje.

dana
krivulja
nožniščna
točka
nožniščna
krivulja
antinožnična
krivulja
premica poljubna točka vzporedni premici
krožnica na obodu srčnica
parabola na osi de Sluzejeva konhoida
parabola na tangenti
na vrhu
ofiurida
parabola gorišče premica
other stožnica gorišče krožnica
logaritemska spirala pol skladna logaritemska spirala skladna logaritemska spirala
epicikloida
hipocikloida
središče vrtnica vrtnica
involuta krožnice središče krožnice Arhimedova spirala krožnica

Glej tudi[uredi | uredi kodo]

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]