Newtonova metoda

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Newtonova metóda ali tangéntna metóda je v matematiki numerična metoda za iskanje ničel funkcije. Ker je sorodna z metodo navadne iteracije, le da je po navadi dosti hitrejša, jo imenujemo tudi metóda pospéšene iterácije.

Za avtorja metode šteje Isaac Newton, ki jo je opisal v delu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (napisano 1669, izdano 1711). Ker se je s to metodo ukvarjal tudi Joseph Raphson v delu Analysis aequationum universalis (1690), jo včasih zasledimo tudi pod imenom Newton-Raphsonova metoda.

Ideja metode[uredi | uredi kodo]

Prvi trije približki po tangentni metodi

Osnovna ideja te metode je naslednja:

  • Število x0 naj bo približek za ničlo funkcije f.
  • V točki x0 postavimo tangento na graf funkcije f in pogledamo, kje je ničla tangente.
  • Ker je tangenta dobra aproksimacija za funkcijo, sklepamo, da je ničla tangente dober približek za ničlo funkcije f. Ničlo tangente vzamemo torej za naslednji približek x1.
  • Postopek nadaljujemo na enak način in tako iz x1 dobimo x2, itd.
  • Dobljeno zaporedje približkov praviloma hitro konvergira k ničli funkcije f.

Praktična izvedba[uredi | uredi kodo]

Iteracijska formula, po kateri iz približka xn izračunamo naslednji približek xn+1, je zelo preprosta:

x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

V formuli nastopata vrednost funkcije f in vrednost odvoda f' (tj. vrednost smernega koeficienta tangente).

Uspešnost metode[uredi | uredi kodo]

Izkaže se, da je Newtonova metoda uspešna za iskanje ničel prve stopnje. Pri takih ničlah zaporedje približkov vedno vodi k ničli, če je le začetni približek primerno izbran. V ničlah višje stopnje je tangenta vodoravna, kar otežkoča (ali celo onemogoča) uporabo Newtonove metode.

Newtonovo metodo se najpogosteje uporablja pri iskanju ničel polinomov, vendar pa ni omejena samo na polinome: uporabimo jo lahko tudi na drugih odvedljivih funkcijah. Uporabna je celo za iskanje ničel v kompleksnem, če izberemo primeren (nerealnen) začetni približek.

Zgled[uredi | uredi kodo]

Izračunajmo po Newtonovi metodi ničlo funkcije f(x)=x^2-612\,\!. Odvod te funkcije je f'(x)=2x\,\!. Za začetni približek izberimo število 10. Dobimo zaporedje približkov:

\begin{matrix}
  x_0 & = & 10 & & & & \\
  x_1 & = & x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} & = & 10 - \frac{10^2 - 612}{2 \cdot 10} & = & 35,6 \\
  x_2 & = & x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} & = & 35,6 - \frac{35,6^2 - 612}{2 \cdot 35,6} & = & \underline{2}6,3955056 \\
  x_3 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{24,7}906355 \\
  x_4 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{24,7386}883 \\
  x_5 & = & \vdots & = & \vdots & = & \underline{24,7386338} 
\end{matrix}

Vidimo, da zaporedje približkov hitro konvergira.

Končni rezultat je seveda enak \sqrt{612}. Na tem mestu poudarimo, da smo med samim izvajanjem Newtonove metode uporabljali samo osnovne računske operacije (plus, minus, krat, deljeno). Newtonova metoda je tako lahko tudi način za poenostavljeno izračunavanje vrednosti bolj kompliciranih funkcij.