Necentralna porazdelitev t

Necentralna t porazdelitev
oznaka
parametri	$\nu \!$ prostostne stopnje (realno število) $\mu\!$ parameter necentralnosti (realno število)
interval	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
funkcija gostote verjetnosti (pdf)	$\frac{\nu^{\nu/2} \exp\left\{-\frac{\nu\mu^2}{2(t^2+\nu)} \right\} } {\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}}$ $\times\int\limits_0^\infty x^\nu\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right\}dx$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)
pričakovana vrednost	$\mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)} \text { za } \nu > 1 \!$ $\text{ za } \nu\le1 \text{ ne obstoja } \!$
mediana
modus
varianca	$\frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2} -\frac{\mu^2\nu}{2} \left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2 \text { za } \nu > 2 \!$ $\text{ za } \nu\le2 \text{ ne obstoja } \!$
simetrija
sploščenost
entropija
funkcija generiranja momentov (mgf)
karakteristična funkcija

Necentralna t porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev, ki je posplošitev Študentove t porazdelitve.

Definicija

Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja

$\frac{Z + \mu}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{\nu / V}$

kjer je

• $Z \!$ normalno porazdeljena slučajna spremenljivka s pričakovano vrednostjo $0 \!$ in varianco $1 \!$
• $V \!$ slučajna spremenljivka, ki ima porazdelitev porazdelitev hi-kvadrat z $\nu \!$ prostostnimi stopnjami
• $Z \!$ and $V \!$ sta statistično neodvisni slučajni spremenljivki.

Lastnosti necentralne t porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Funkcija gostote verjetnosti za necentralno t porazdelitev je

$f(t) =\frac{\nu^{\nu/2} \exp\left\{-\frac{\nu\mu^2}{2(t^2+\nu)} \right\} } {\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}}$

$\times\int\limits_0^\infty x^\nu\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right\}dx$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost je za $\nu > 1 \!$ enaka

$\mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)} \!$ ,

za $\nu\le1 \!$ ne obstoja

Varianca

Varianca je za $\nu > 2 \!$ enaka

$\frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2} -\frac{\mu^2\nu}{2} \left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2 \!$ ,

za $\nu\le 2 \!$ ne obstoja

Momenti

K-ti moment je za $\nu> k \!$ enak

$\left(\frac{\nu}{2}\right)^{\frac{k}{2}}\frac{\Gamma\left(\frac{\nu-k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\mbox{exp}\left(-\frac{\mu^2}{2}\right)\frac{d^k}{d \mu^k}\mbox{exp}\left(\frac{\mu^2}{2}\right) \!$

za $\nu \le k \ \!$ ne obstoja.

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Kadar je $\mu = 0\!$ postane necentralna t porazdelitev enaka Študentovi t porazdelitvi.
• Kadar ima slučajna spremenljivka $Z = T^2 \!$ necentralno F porazdelitev, potem ima $T \!$ necentralno t porazdelitev.
• Slučajna spremenljivka $Z \!$ ima normalno porazdelitev, če velja $Z = \lim_{\nu \to \infty}T\!$, kjer pa ima $T \!$ necentralno t porazdelitev.

Zunanje povezave

• Vzorčni primeri in simulacija (v angleščini)

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev