Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom

Množenje vektorja s številom (tudi množenje vektorja s skalarjem) je matematična operacija, ki številu (skalarju) n in vektorju $\vec a$ priredi vektor $n\vec a$.

Opozorilo: Množenje vektorja s skalarjem ni isto kot skalarni produkt - teh dveh računaskih operacij ne smemo zamenjevati.

Definicija

Rezultat množenja vektorja $\vec a$ s številom n je vektor $n\vec a$, določen z naslednjimi lastnostmi:

• vektor $n\vec a$ je vzporeden z danim vektorjem $\vec a$
• dolžina vektorja $n\vec a$ je |n|-krat tolikšna kot dolžina vektorja $\vec a$
• če je n>0, je $n\vec a$ enako orientiran kot $\vec a$; če je n<0, pa je $n\vec a$ orientiran nasprotno kot $\vec a$

Množenje vektorja s (pozitivnim) številom torej pomeni razteg ali skrčitev vektorja, njegova smer pa ostane nespremenjena.

Lastnosti

Množenje vektorja s številom ima naslednje računske lastnosti:

Distributivnost glede na seštevanje števil: $(n+m)\vec{a}=n\vec{a}+m\vec{a}$

Distributivnost glede na seštevanje vektorjev: $n(\vec{a}+\vec{b})=n\vec{a}+n\vec{b}$

Homogenost: $n(m\vec{a})=(nm)\vec{a}=m(n\vec{a})$

Nevtralni element je število 1: $1\cdot\vec{a}=\vec{a}$

V običajnem trirazsežnem prostoru lahko vektor zapišemo s tremi koordinatami:

$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$

Pri množenju takega vektorja številom n se vse tri koordinate pomnožijo z n:

$n\vec{a}=(na_1,na_2,na_3)$

Posplošitve

Računsko operacijo množenje vektorja s skalarjem v matematiki posplošimo tudi na večrazsežne vektorje. Pri množenju takega vektorja številom n se vse koordinate (komponente) pomnožijo z n.

Posplošimo lahko tudi pojem "skalar" oziroma "število": namesto običajnih realnih števil lahko uporabimo npr. kompleksna števila ali tudi elemente kakšnega drugega matematičnega obsega.