Metrika FLRW

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Métrika FLRW (Fridman-Lemaître-Robertson-Walkerjeva metrika) je eksaktna rešitev Einsteinovih relativističnih enačb polja v splošni teoriji relativnosti. Opisuje enostavno povezano, homogeno, izotropno razširjajoče ali krčajoče se Vesolje. Sama splošna oblika metrike sledi iz geometričnih značilnosti homogenosti in izotropnosti, Einsteinove enačbe polja so potrebne le za izpeljavo velikosti Vesolja kot funkcije časa. Metriko v različnih virih različno poimenujejo. Na primer: Fridman-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW) ali Fridman-Lemaître (FL). Ta model se včasih imenuje standardni model sodobne fizikalne kozmologije.[1] Metriko so neodvisno razvili Aleksander Aleksandrovič Fridman, Georges Lemaître, ter Howard Percy Robertson in Arthur Geoffrey Walker v 1920-ih in 1930-ih. Večina sodobne fizikalne kozmologije temelji na metriki FLRW, vsaj v prvem približku.[2]

Splošna metrika[uredi | uredi kodo]

Metrika FLRW privzema homogenost in izotropnost prostora. Poleg tega privzema, da so lahko prostorske komponente časovno odvisne. Splošna metrika, za katero ti pogoji veljajo, je:

 - c^{2} {\rm d}\tau^{2} = - c^{2} {\rm d}t^{2} + {a(t)}^{2} {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} \!\, ,

kjer \mathbf{\Sigma} zajema trirazsežni prostor s konstantno ukrivljenostjo: eliptični prostor, evklidski prostor ali hiperbolični prostor. Običajno se zapiše kot funkcija treh prostorskih koordinat. Prostorska metrika {\rm d}\mathbf{\Sigma} ni odvisna od t, časovno odvisnost ima le skalirni faktor a(t), ki predstavlja relativno širjenje Vesolja:

 a(t) = \frac{d(t)}{d_{0}} \!\, ,

kjer je \! d(t) prava razdalja dveh teles v poljubnem času \! t, \! d_{0} pa razdalja v sedanjem času \! t_{0}.[3] S skalirnim faktorjem je določen Hubblov zakon:

 \frac{{\rm d} d(t)}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} a(t)}{{\rm d}t} \frac{1}{a(t)} d(t) = H d(t) \!\, ,

kjer je H Hubblov parameter. Skalirni faktor je uvedel Fridman, njegove oznake so tudi R, r ali S.

Polarne koordinate s skrčenim obsegom[uredi | uredi kodo]

V polarnih koordinatah s skrčenim obsegom (r,\theta,\phi) ima prostorska metrika obliko:

 {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = \frac{{\rm d}r^{2}}{1-k r^{2}} + r^{2} {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2}, \quad \text{pri } {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} = {\rm d}\theta^{2} + \sin^{2} \theta \, {\rm d}\phi^{2} \!\, .

k je konstanta, ki predstavlja ukrivljenost prostora. Obstajata dva obča dogovora o enotah:

  • k ima lahko enote dolžine {\rm L}^{-2}, pri čemer ima r enoto dolžine, a(t) pa je brez enot. k je potem Gaussova ukrivljenost prostora v času, ko je a(t) = 1. r se včasih imenuje skrčeni obseg, ker je enak merjenemu obsegu kroga (za to vrednost r), s središčem v izhodišču, deljenemu z 2π (kot r v Schwarzschildovih koordinatah). Velikokrat se izbere a(t)=1 in velja za sedanji kozmološki čas, tako da {\rm d}\mathbf{\Sigma} meri sogibajočo ali pravo razdaljo.
  • k lahko zavzame vrednosti {−1,0,+1} (za negativno, ničelno ali pozitivno ukrivljenost). Potem je r brez enot, a(t) pa ima enote dolžine. Ko je k = ±1, je a(t) polmer ukrivljenosti prostora, lahko pa zapišemo tudi R(t).

Slabost polarnih koordinat s skrčenim obsegom je v tem, da pokrivajo le polovico 3-sfere v primeru obsegov pozitivnih ukrivljenosti. V eliptičnem prostoru, ko ima 3-sfera določeni nasprotni točki, tega problema ni.

Hipersferične koordinate[uredi | uredi kodo]

V hipersferičnih ali ukrivljenostno normaliziranih koordinatah je koordinata r sorazmerna z radialno razdaljo, kar da:

 {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}r^{2} + S_{k}(r)^{2} \, {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} \!\, ,

kjer je {\rm d}\mathbf{\Omega} enako kot prej,

 S_{k}(r) =
\begin{cases}
\sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), & k > 0 \\
r, &k = 0 \\
\sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), & k < 0.
\end{cases}

Enako kot prej je k lahko Gaussova ukrivljenost pri a(t) = 1, ali je brezrazsežna količina iz množice {−1,0,+1}. Pri k = +1 je r dejansko tretji kot vzdolž z θ in φ. Namesto r se lahko rabi tudi črka χ.

Čeprav je S po navadi določena odsekoma, je analitična funkcija od k in r. Lahko jo zapišemo tudi kot potenčno vrsto:

S_{k}(r) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} k^{n} r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^{3}}{6} + \frac{k^{2} r^{5}}{120} - \cdots

ali kot:

 S_{k}(r) = r \; \operatorname {sinc} \, (r \sqrt{k}) \!\, ,

kjer je sinc nenormalizirana funkcija sinc, \sqrt{k} pa kompleksni kvadratni koren od k. Te definicije veljajo za vse k.

Kartezične koordinate[uredi | uredi kodo]

Pri k = 0 lahko zapišemo preprosto:

 {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}x^{2} + {\rm d}y^{2} + {\rm d}z^{2} \!\, .

To lahko razširimo na k ≠ 0, če definiramo:

 x = r \cos \theta \!\, ,
 y = r \sin \theta \cos \phi \!\, in
 z = r \sin \theta \sin \phi \!\, ,

kjer je r ena od radialnih koordinat definiranih zgoraj, vendar redko.

Opombe in sklici[uredi | uredi kodo]

  1. ^ Bergström, Goobar (2006), str. 61.
  2. ^ Weinberg (2008), str. 1-2.
  3. ^ Schutz (2003), str. 363.

Viri[uredi | uredi kodo]