Metrika FLRW

Métrika FLRW (Fridman-Lemaître-Robertson-Walkerjeva metrika) je eksaktna rešitev Einsteinovih relativističnih enačb polja v splošni teoriji relativnosti. Opisuje enostavno povezano, homogeno, izotropno razširjajoče ali krčajoče se Vesolje. Sama splošna oblika metrike sledi iz geometričnih značilnosti homogenosti in izotropnosti, Einsteinove enačbe polja so potrebne le za izpeljavo velikosti Vesolja kot funkcije časa. Metriko v različnih virih različno poimenujejo. Na primer: Fridman-Robertson-Walker (FRW), Robertson-Walker (RW) ali Fridman-Lemaître (FL). Ta model se včasih imenuje standardni model sodobne fizikalne kozmologije. Metriko so neodvisno razvili Aleksander Aleksandrovič Fridman, Georges Lemaître, ter Howard Percy Robertson in Arthur Geoffrey Walker v 1920-ih in 1930-ih. Večina sodobne fizikalne kozmologije temelji na metriki FLRW, vsaj v prvem približku.

Splošna metrika

Metrika FLRW privzema homogenost in izotropnost prostora. Poleg tega privzema, da so lahko prostorske komponente časovno odvisne. Splošna metrika, za katero ti pogoji veljajo, je:

$- c^{2} {\rm d}\tau^{2} = - c^{2} {\rm d}t^{2} + {a(t)}^{2} {\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} \!\, ,$

kjer $\mathbf{\Sigma}$ zajema trirazsežni prostor s konstantno ukrivljenostjo: eliptični prostor, evklidski prostor ali hiperbolični prostor. Običajno se zapiše kot funkcija treh prostorskih koordinat. Prostorska metrika ${\rm d}\mathbf{\Sigma}$ ni odvisna od t, časovno odvisnost ima le skalirni faktor a(t), ki predstavlja relativno širjenje Vesolja:

$a(t) = \frac{d(t)}{d_{0}} \!\, ,$

kjer je $\! d(t)$ prava razdalja dveh teles v poljubnem času $\! t$, $\! d_{0}$ pa razdalja v sedanjem času $\! t_{0}$. S skalirnim faktorjem je določen Hubblov zakon:

$\frac{{\rm d} d(t)}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d} a(t)}{{\rm d}t} \frac{1}{a(t)} d(t) = H d(t) \!\, ,$

kjer je $H$ Hubblov parameter. Skalirni faktor je uvedel Fridman, njegove oznake so tudi $R$, $r$ ali $S$.

Polarne koordinate s skrčenim obsegom

V polarnih koordinatah s skrčenim obsegom $(r,\theta,\phi)$ ima prostorska metrika obliko:

${\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = \frac{{\rm d}r^{2}}{1-k r^{2}} + r^{2} {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2}, \quad \text{pri } {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} = {\rm d}\theta^{2} + \sin^{2} \theta \, {\rm d}\phi^{2} \!\, .$

k je konstanta, ki predstavlja ukrivljenost prostora. Obstajata dva obča dogovora o enotah:

• k ima lahko enote dolžine ${\rm L}^{-2}$, pri čemer ima r enoto dolžine, a(t) pa je brez enot. k je potem Gaussova ukrivljenost prostora v času, ko je a(t) = 1. r se včasih imenuje skrčeni obseg, ker je enak merjenemu obsegu kroga (za to vrednost r), s središčem v izhodišču, deljenemu z 2π (kot r v Schwarzschildovih koordinatah). Velikokrat se izbere $a(t)=1$ in velja za sedanji kozmološki čas, tako da ${\rm d}\mathbf{\Sigma}$ meri sogibajočo ali pravo razdaljo.
• k lahko zavzame vrednosti {−1,0,+1} (za negativno, ničelno ali pozitivno ukrivljenost). Potem je r brez enot, a(t) pa ima enote dolžine. Ko je k = ±1, je a(t) polmer ukrivljenosti prostora, lahko pa zapišemo tudi R(t).

Slabost polarnih koordinat s skrčenim obsegom je v tem, da pokrivajo le polovico 3-sfere v primeru obsegov pozitivnih ukrivljenosti. V eliptičnem prostoru, ko ima 3-sfera določeni nasprotni točki, tega problema ni.

Hipersferične koordinate

V hipersferičnih ali ukrivljenostno normaliziranih koordinatah je koordinata r sorazmerna z radialno razdaljo, kar da:

${\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}r^{2} + S_{k}(r)^{2} \, {\rm d}\mathbf{\Omega}^{2} \!\, ,$

kjer je ${\rm d}\mathbf{\Omega}$ enako kot prej,

$S_{k}(r) = \begin{cases} \sqrt{k}^{\,-1} \sin (r \sqrt{k}), & k > 0 \\ r, &k = 0 \\ \sqrt{|k|}^{\,-1} \sinh (r \sqrt{|k|}), & k < 0. \end{cases}$

Enako kot prej je k lahko Gaussova ukrivljenost pri a(t) = 1, ali je brezrazsežna količina iz množice {−1,0,+1}. Pri k = +1 je r dejansko tretji kot vzdolž z θ in φ. Namesto r se lahko rabi tudi črka χ.

Čeprav je S po navadi določena odsekoma, je analitična funkcija od k in r. Lahko jo zapišemo tudi kot potenčno vrsto:

$S_{k}(r) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} k^{n} r^{2n+1}}{(2n+1)!} = r - \frac{k r^{3}}{6} + \frac{k^{2} r^{5}}{120} - \cdots$

ali kot:

$S_{k}(r) = r \; \operatorname {sinc} \, (r \sqrt{k}) \!\, ,$

kjer je sinc nenormalizirana funkcija sinc, $\sqrt{k}$ pa kompleksni kvadratni koren od k. Te definicije veljajo za vse k.

Kartezične koordinate

Pri k = 0 lahko zapišemo preprosto:

${\rm d}\mathbf{\Sigma}^{2} = {\rm d}x^{2} + {\rm d}y^{2} + {\rm d}z^{2} \!\, .$

To lahko razširimo na k ≠ 0, če definiramo:

$x = r \cos \theta \!\, ,$

$y = r \sin \theta \cos \phi \!\,$ in

$z = r \sin \theta \sin \phi \!\, ,$

kjer je r ena od radialnih koordinat definiranih zgoraj, vendar redko.

Viri

• Bergström, Lars; Ariel Goobar (2006). Cosmology and Particle Astrophysics (2. izdaja izd.). Sprint. ISBN 3540329242. http://books.google.com/books?id=CQYu_sutWAoC&pg=PA61. 
• Burd, Adrian (1993). "Inflation in open FLRW universes" (PDF). Class. Quantum. Grav. 10: 1495–1505. http://www-modeling.marsci.uga.edu/Publications/1993_Burd_CQG_Open_Inflation.pdf. 
• Egan, Chas (2007). Derivation of the FLRW Equations (v angleščini). Univerza Novega Južnega Walesa (UNSW). Pridobljeno dne 2010-10-11.
• Ellis, George F. R.; van Elst, Henk (v v angleščini). Cosmological models (Cargèse lectures 1998). arXiv:gr-qc/9812046v5. http://arxiv.org/abs/gr-qc/9812046. Pridobljeno 2005-07-30. 
• Fok, Vladimir Aleksandrovič (1963). "Работы А. А. Фридмана по теории тяготения Эйнштейна". UFN LXXX (3): 353–356. http://ufn.ru/ufn63/ufn63_7/Russian/r637b.pdf. Pridobljeno 2012-07-04. 
• Fridman, Aleksander Aleksandrovič (1922). "Über die Krümmung des Raumes". Z. Phys. A 10 (1): 377–386. doi:10.1007/BF01332580. ISSN 0939-7922.  (Angleški prevod v: Fridman, A. A. (1999). "On the Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 1991–2000. doi:10.1023/A:1026751225741. http://adsabs.harvard.edu/abs/1999GReGr..31.1991F. )
• Fridman, Aleksander Aleksandrovič (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes". Z. Phys. A 21: 326–332. doi:10.1007/BF01328280. ISSN 0939-7922.  (Angleški prevod v: Fridman, A. A. (1999). "On the Possibility of a World with Constant Negative Curvature of Space". General Relativity and Gravitation 31 (12): 2001–2008. doi:10.1023/A:1026755309811. http://adsabs.harvard.edu/abs/1999GReGr..31.2001F. )
• Gliner, Erast Borisovič (2002). "Раздувающаяся вселенная и вакуумоподобное состояние физической сред" (PDF). UFN 172 (2): 221–228. doi:10.3367/UFNr.0172.200202f.0221. http://www.ebiblioteka.lt/resursai/Uzsienio%20leidiniai/Uspechi_Fiz_Nauk/2002/02/r022e.pdf. 
• Lemaître, Georges (1931). "Expansion of the universe, A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extra-galactic nebulæ". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91: 483–490. http://adsabs.harvard.edu/abs/1931MNRAS..91..483L.  (Angleški prevod iz: Lemaître, G. (1927). "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques". Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A47: 49–56. http://adsabs.harvard.edu/abs/1927ASSB...47...49L. )
• Lemaître, Georges (1933). "l’Univers en expansion". Annales de la Société Scientifique de Bruxelles A53: 51–85. 
• Linde, Andrej Dimitrijevič (1994). "Lectures on Inflationary Cosmology" (v v angleščini). Stanford University preprint, SU–ITP–94–36. arXiv:hep-th/9410082v1. http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9410/9410082v1.pdf. Pridobljeno 2010-10-11. 
• Robertson, Howard Percy (1935). "Kinematics and world structure". Astrophysical Journal 82: 248–301. doi:10.1086/143681. http://adsabs.harvard.edu/abs/1935ApJ....82..284R. 
• Robertson, Howard Percy (1936). "Kinematics and world structure II". Astrophysical Journal 83: 187–201. doi:10.1086/143716. http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..187R&. 
• Robertson, Howard Percy (1936). "Kinematics and world structure III". Astrophysical Journal 83: 257–271. doi:10.1086/143726. http://adsabs.harvard.edu/abs?bibcode=1936ApJ....83..257R&. 
• Schutz, Bernard F. (2003). Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity. Cambridge University Press. ISBN 978-0521455060. http://books.google.com/books?id=iEZNXvYwyNwC&lpg=PP1#v=onepage&q&f=false. 
• Walker, Arthur Geoffrey (1937). "On Milne’s theory of world-structure". Proceedings of the London Mathematical Society 2 42: 90–127. doi:10.1112/plms/s2-42.1.90. 
• Weinberg, Steven (2008). Cosmology. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852682-7. http://books.google.com/books?id=48C-ym2EmZkC&pg=PA3. 

Portal astronomija