Matrika vrtenja

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Skoči na: navigacija, iskanje

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot  \theta \, okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

R = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}
.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\,.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z  R \, (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru[uredi | uredi kodo]

Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.
Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko


R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z


\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}.

Tako dobimo nove koordinate  (x', y') \, za točko  (x, y) \,

x' = x \cos \theta - y \sin \theta\,,
y' = x \sin \theta + y \cos \theta\,.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je  \theta \, pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je  \theta \, negativen.


R(-\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta \\
\end{bmatrix}\,.

Pogosta vrtenja[uredi | uredi kodo]

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:


R(90^\circ) = \begin{bmatrix}
0 & -1 \\[3pt]
1 & 0 \\
\end{bmatrix} (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)
R(180^\circ) = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\[3pt]
0 & -1 \\
\end{bmatrix} (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)
R(270^\circ) = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\[3pt]
-1 & 0 \\
\end{bmatrix} (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru[uredi | uredi kodo]

Osnovna vrtenja[uredi | uredi kodo]

Vrtenja okoli koordinatnih osi x, y, z \, v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike


\begin{alignat}{1}
R_x(\theta) &= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt]
0 & \sin \theta  & \cos \theta \\[3pt]
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_y(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt]
0 & 1 & 0 \\[3pt]
-\sin \theta & 0 & \cos \theta \\
\end{bmatrix} \\[6pt]
R_z(\theta) &= \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt]
\sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt]
0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}.
\end{alignat}
.

Posplošitev vrtenja[uredi | uredi kodo]

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja[uredi | uredi kodo]

V trirazsežnem prostoru, kjer je  a \, os vrtenja in  \theta \, je kot vrtenja, R_{a,\theta} \in \mathbb{R}^3

\{1, e^{\lim i\theta} \} = \{1,\ \cos(\theta)+i\sin(\theta),\ \cos(\theta)-i\sin(\theta)\}, 
  • sled matrike R_{a,\theta} \ je enaka 1 + 2\cos(\theta) \, kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

Zgledi[uredi | uredi kodo]

Matrika

 Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

 M = \begin{bmatrix} 0.936 & 0.352 \\ 0.352 & -0.936 \end{bmatrix}

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice  11 y = 2x \,

Rotacijska matrika 3×3

 Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \\ 0 & -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi

Rotacijska matrika 3×3

 Q = \begin{bmatrix} 0.36 & 0.48 & -0.8 \\ -0.8 & 0.60 & 0 \\ 0.48 & 0.64 & 0.60 \end{bmatrix}

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−13,23,23)

Permutacijska matrika 3×3

 P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija

Naslednja matrika 3×3

 M = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 5 & 3 & -7 \\ -9 & 2 & 6 \end{bmatrix}

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja

Matrika 4×3

 M = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.1 & 0.7 \\ 0.1 & 0.5 & -0.5 \\ -0.7 & 0.5 & 0.5 \\ -0.5 & -0.7 & -0.1 \end{bmatrix}

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja

Matrika 4×4

 Q = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}

predstavlja izoklinsko vrtenje,

Matrika 5×5

 Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave[uredi | uredi kodo]