Matrika vrtenja

Matrika vrtenja (tudi matrika rotacije ali rotacijska matrika) je v linearni algebri matrika, ki opisuje vrtenje (rotacijo) v Evklidskem prostoru. Enostaven primer je matrika, ki zavrti točke v xy ravnini Kartezičnega koordinatnega sistema v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev za kot $\theta \,$ okoli izhodišča koordinatnega sistema, ki jo lahko zapišemo v obliki

$R = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$.

Rotacijske matrike so vedno kvadratne, njeni elementi pa so realna števila. Matrike vrtenja so ortogonalne matrike, ki imajo determinanto enako 1. Zanje torej velja

$R^{T} = R^{-1}, \det R = 1\,$.

Množica matrik vrtenja tvori grupo, ki jo poznamo kot rotacijsko grupo ali specialno ortogonalno grupo.

Matrike vrtenja označujemo z $R \,$ (matrika rotacije).

Vrtenje v dvorazsežnem prostoru

Vrtenje vektorja v smeri gibanja urinih kazalcev za kot θ. Vektor je najprej usmerjen vzdolž osi x.

Vrtenje vektorja za kot θ v sistemu z nestandardno usmeritvijo koordinatnih osi.

V dveh razsežnostih ima matrika vrtenja obliko

$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$.

Ta matrika zavrti stolpični vektor v skladu z

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$.

Tako dobimo nove koordinate $(x', y') \,$ za točko $(x, y) \,$

$x' = x \cos \theta - y \sin \theta\,$,

$y' = x \sin \theta + y \cos \theta\,$.

Smer vrtenja vektorja je mišljena v nasprotni smeri od gibanja urinih kazalcev, če je $\theta \,$ pozitiven, in v smeri gibanja urinih kazalcev, če je $\theta \,$ negativen.

$R(-\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\,$.

Pogosta vrtenja

Pogosto se uporabljajo vrtenja za 90° in 180°:

$R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\[3pt] 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ (vrtenje za 90° v nasprotni smeri gibanja urinih kazalcev)

$R(180^\circ) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\[3pt] 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$ (vrtenje za 180° v katerikoli smeri – polovični obrat)

$R(270^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\[3pt] -1 & 0 \\ \end{bmatrix}$ (vrtenje za 90° v smeri gibanja urinih kazalcev)

Vrtenje vektorja v nestandardnem sistemu koordinatnih osi (glej sliko) se uporablja v dvorazsežni računalniški grafiki, kjer je izhodišče koordinatnega sistema v zgornjem levem kotu zaslona, pri tem pa y-os poteka navzdol po zaslonu računalnika.

Vrtenje v trirazsežnem prostoru

Osnovna vrtenja

Vrtenja okoli koordinatnih osi $x, y, z \,$ v trirazsežnem desno orientiranem prostoru dajejo naslednje matrike

$\begin{alignat}{1} R_x(\theta) &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\[3pt] 0 & \sin \theta & \cos \theta \\[3pt] \end{bmatrix} \\[6pt] R_y(\theta) &= \begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta \\[3pt] 0 & 1 & 0 \\[3pt] -\sin \theta & 0 & \cos \theta \\ \end{bmatrix} \\[6pt] R_z(\theta) &= \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\[3pt] \sin \theta & \cos \theta & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}. \end{alignat}$.

Posplošitev vrtenja

Poljubno vrtenje dobimo s pomočjo množenja matrik

Lastnosti matrik vrtenja

V trirazsežnem prostoru, kjer je $a \,$ os vrtenja in $\theta \,$ je kot vrtenja, $R_{a,\theta} \in \mathbb{R}^3$

• $R_{a, \theta}^T = R_{a, \theta}^{-1}$ (i.e., $R_{a,\theta} \$ je ortogonalna matrika
• $\det\left(R_{a, \theta}\right) = 1$
• $R_{a, (\theta + r)} = R_{a, \theta} \cdot R_{a,r}$
• $R_{a, 0} = I \$
• lastne vrednosti $R_{a,\theta} \$ so

$\{1, e^{\lim i\theta} \} = \{1,\ \cos(\theta)+i\sin(\theta),\ \cos(\theta)-i\sin(\theta)\},$

• sled matrike $R_{a,\theta} \$ je enaka $1 + 2\cos(\theta) \,$ kar je enako vsoti njenih lastnih vrednosti.

kjer je

• $a \,$ os vrtenja
• $\det\left(R_{a, \theta}\right) \,$ je determinanta
• $I \,$ enotska matrika ($I \in \mathbb{R}^n \,$)
• $i \,$ je običajna imaginarna enota za katero velja $i^2 = -1 \,$

Zgledi

Matrika

$Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

odgovarja vrtenju za 90° v ravnini

Transponirana matrika matrike 2×2

$M = \begin{bmatrix} 0.936 & 0.352 \\ 0.352 & -0.936 \end{bmatrix}$

je sama sebi obratna, ker pa je njena determinanta −1, to ni matrika vrtenja, je pa matrika, ki daje zrcaljenje preko premice $11 y = 2x \,$

Rotacijska matrika 3×3

$Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac12 \\ 0 & -\frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$

odgovarja vrtenju za −30° okoli x osi

Rotacijska matrika 3×3

$Q = \begin{bmatrix} 0.36 & 0.48 & -0.8 \\ -0.8 & 0.60 & 0 \\ 0.48 & 0.64 & 0.60 \end{bmatrix}$

odgovarja vrtenju za okoli -74° okoli osi (−¹⁄₃,²⁄₃,²⁄₃)

Permutacijska matrika 3×3

$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

je matrika vrtenja, kot je tudi vsaka soda permutacija

Naslednja matrika 3×3

$M = \begin{bmatrix} 3 & -4 & 1 \\ 5 & 3 & -7 \\ -9 & 2 & 6 \end{bmatrix}$

ima determinanto +1, toda njena transponirana ni sebi obrnjena, kar pomeni, da ni matrika vrtenja

Matrika 4×3

$M = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.1 & 0.7 \\ 0.1 & 0.5 & -0.5 \\ -0.7 & 0.5 & 0.5 \\ -0.5 & -0.7 & -0.1 \end{bmatrix}$

ni kvadratna in tako ne more biti matrika vrtenja

Matrika 4×4

$Q = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

predstavlja izoklinsko vrtenje,

Matrika 5×5

$Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

je matrika vrtenja, ker zavrti vektorje v ravnini prvih dveh koordinatnih osi za 90° in zavrti vektorje v ravnini drugih dveh osi za 180°, pri tem pa pusti zadnjo os nespremenjeno

Zunanje povezave

• Matrika vrtenja na MathWorld (v angleščini)
• Matrika vrtenja (značilnosti) (v angleščini)
• Matrika vrtenja na Citizendium (v angleščini)
• Matrika vrtenja na MathPages (v angleščini)