Matrika preslikave

Matrika preslikave (tudi transformacijska matrika ali matrika prehoda) je matrika, ki predstavlja linearno transformacijo iz $R^n \,$ v $R^m \,$ tako, da velja

$T( \vec x ) = \mathbf{A} \vec x$

kjer je

• $A \,$ transformacijska matrika z razsežnostjo $m \times n \,$
• $\vec x \,$ stolpični vektor z $n \,$ elementi
• $T \,$ preslikava vektorja

Matrika pomeni prehod med dvema končno razsežnima vektorskima prostoroma. To je prehod iz baze z vektorji $\vec a_1, \cdots, \vec a_n \,$ v bazo $\vec b_1, \cdots, \vec b_n \,$ Včasih prikažejo transformacijsko matriko tudi z uporabo vrstičnega vektorja

Primeri v dvorazsežni grafiki

Najbolj pogoste geometrijske preslikave obdržijo stalno izhodišče. Med te preslikave prištevamo vrtenje, povečevanje in zmanjševanje, striženje, zrcaljenje in pravokotno projekcijo.

Vrtenje

Vrtenje za kot $\theta \,$ v smeri, ki je nasprotna gibanju urinih kazalcev (glede na izhodišče) zapišemo v matrični obliki kot

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v nasprotni smeri urinih kazalcev:

$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

kjer je

• $x' \,$ koordinata x po vrtenju
• $x \,$ koordinata x pred vrtenjem
• $\theta \,$ kot za katerega zavrtimo

Podobno je pri vrtenju v smeri gibanja urinih kazalcev

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin\theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Primer matrike za vrtenje 90 stopinj v smeri urinih kazalcev:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

Povečevanje in zmanjševanje

Povečevanje in zmanjševanje pomeni spremembo merila v katerem prikazujemo sliko. Če označimo z $x' \,$ in $y' \,$ nove koordinate, potem velja $x' = s_x \cdot x$ in $y' = s_y \cdot y$

Matrika transformacije je

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Kadar velja tudi $s_x s_y = 1 \,$ predstavlja matrika stiskanje (pri tem se ohranja površina).

Nekateri povečevanje in zmanjševanje imenujejo tudi skaliranje .

Striženje

Strig je podoben nagibanju slike. Možni sta dve obliki: Strig vzdolž osi-y tako, da so nove koordinate $x' = x + ky \,$ in $y' = y \,$. Pri tem je strižna matrika za stolpični vektor enaka

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Druga oblika pa je striženje vzdolž osi-x. Pri tem so nove koordinate $x' = x \,$ in $y' = y + kx \,$. Matrika pa ima obliko

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$

Zrcaljenje

Če zrcalimo preko premice, ki teče preko izhodišča in ima smer vektorja $\vec l = (l_x, l_y) \,$, potem zrcaljenje opisuje matrika

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - 2 a^2 & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b & 1 - 2 b^2 & - 2 b c \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{bmatrix}$

Pravokotna projekcija

Če hočemo izvesti projekcijo vektorja na premico, ki teče skozi izhodišče, naj bo $\vec u = (u_x, u_y) \,$, potem je transformacijska matrika

$\mathbf{A} = \frac{1}{\lVert\vec{u}\rVert^2} \begin{bmatrix} u_x^2 & u_x u_y \\ u_x u_y & u_y^2 \end{bmatrix}$

Glej tudi

• seznam vrst matrik

Zunanje povezave

• Transformacijska matrika na Mathworld (v angleščini)
• Transformacijska matrika (v slovenščini)
• Računalniška grafika (v slovenščini)